08年校内竞赛题

2008年竞赛题第1页共4页韶关学院第八届数学建模竞赛题一、挂灯高度一盏灯挂在边长为1m的方桌的正上方.灯的高度不同,桌面各点的照度(获得的照明度)也各不相同.由光学知识可知,受光面上的照度与光线的入射角的余弦值成正比,而与到光源的距离的平方成反比.为了使桌子四个角的照度最大,试问,挂灯应该挂在离桌面多高的地方?如果想要桌子的四边中点处照度最大呢?(1)依题,假设挂灯离桌面高为h(米),桌角处的照度为w,则有2/32)2/1()(hhkhww其中k为比例系数.依题有2/5222/322/132/1)('hhkhkhw令0)('hw,可解得21h舍去21h,即得21h,即挂灯离桌面高为0.5米的时候,桌角处的照度最大.(2)同理,在桌子各边中点的照度为2/32)4/1()(hhkhww,依上述方法可解得42h,舍去42h,得42h,即离桌面高约为0.35米处.二、罐体设计目前市面上有很多饮料是使用易拉罐包装的.假设某种饮料的易拉罐是圆柱体,其上底的厚度是其它部分厚度的三倍,每个易拉罐所用的材料是固定的,为了使其容积最大以容纳更多的饮料,在设计上应使易拉罐的直径与高之比为多少?设易拉罐的高为h,直径为d,为方便计,设上底厚度单位为3,其余为1,且设材料使用为1个单位.则有易拉罐的容积:hdhdv2241)2(材料限制:12hdd依题,实际上是求容积hdv241在满足材料限制12dhd的条件下的条件极值.引入Lagrange函数:)1(41),,(22hddhdhdL,其中为Lagrange乘子.令0)2(21'hdhdLd(1)041'2ddLh(2)01'2hddL(3)从(2)式可解得41,代入(1)式可得22dhd0d或dh2,0d舍去,即得dh2.即易拉罐的直径与高之比为1:2时,容积最大.2008年竞赛题第2页共4页三、泳池清洁某游泳馆即将开业，为了使池水达到卫生要求且不影响正常开业,需人工清洁池水,即排放一些浑浊的池水,同时均匀注入等量的净水.假设泳池长50m,宽30m,平均水深1.2m,在池水浑浊度为0.0012kg/m3时开始以速度vm3/min排水.试建立池水净化的数学模型;如果要在2小时内使浑浊度降至0.0006kg/m3,则排水速度v为多少?设t时刻水池的浑浊度为)(txx,以分钟为计时单位,以开始排水时刻为零时刻,则3/0012.0)0(mkgx,则可得水池的清洁的数学模型为0012.0)0(2.13050)(xvtxdtdx即0012.0)0(1800)(xvtxdtdx解此微分方程可得:180025003)(tvetx.当120t(2小时)时,令0006.0)120(x可得min)/(2ln153mv,约为10.397m3/min.四、装备计划某化工厂生产中需要两种中间产品I和II，每月各为100吨和420吨，这些产品由某种反应锅产生.反应锅有A、B两种，成本分别为60万与30万，每个反应锅每月能生产产品I和II的数量见下表.如果由于设计要求，每种反应锅的数量不能少于4台.求该工厂装备这两种反应锅的台数，使之既能满足生产要求，又能使成本最低.Ⅰ(单位:吨)Ⅱ(单位:吨)成本（单位:10万元）A10206B4303设A、B两种反应锅应为,xy台，成本最低课转化为求yxC36的最小值，并且满足（1）产品I的最低需求量104xy100；（2）产品I的最低需求量2030420xy；（3）由于设计要求，每种反应锅的数量不能少于4台，即4x，4y。产品反应锅2008年竞赛题第3页共4页则可得如下线性规划模型：MinyxC36..ts4,44203020100410yxyxyx，由图解法（见上图），可得最优解为10,6yx，最优值为66C（10万元）。五、座位安排已知a、b、c、d、e、f、g七个人中，a、b会讲英语、汉语，c会讲英语、意大利语、俄语、法语，d会讲汉语、日语、韩国语，e会讲意大利语、德语、韩国语，f会讲俄语、日语、法语，g会讲德语、法语.试问能否将他们的座位安排在一个圆桌上，使得每个人都能与他身旁的人交谈？若可以，有多少种安排座位的方法？请列举.用a、b、c、d、e、f、g这七个节点代表七个人，两个人若能坐在一起，代表它们之间的节点有一条无向边，所得无向图如图1所示。则这种安排方法是满足经过图1中每个顶点一次的一个圈，即Hamilton圈。于是此问题转化为求图1中不重合的Hamilton圈的个数。而找Hamilton圈问题是一个NP完全问题，没有有效算法，在此使用穷举法搜索。此图有四条Hamilton圈，即代表四种不同的排法。1.abdfgeca；2.abcegfda；3.abcfgeda；4.abdegfca图1gfedcba2008年竞赛题第4页共4页六、等待时间某地铁站从早晨6点到晚上12点于每个整点的第5、25、55分钟均有一列车到达.假设乘客在一个整点内到达地铁站的时间是等可能的，求一个乘客由于等车而浪费的平均时间.如果设x为该乘客到达的时间，则x服从区间]60,0[上的均匀分布，即x有密度函数]60,0[,0]60,0[,601)(xxxf；并设y为其候车时间，于是有6055,5605525,55255,2550,5)(xxxxxxxxxgy；于是所求平均时间为：)(67.11)5.374502005.12(6016056060556025605601)()()()(6055552525550600600分钟dxxdxxdxxdxxdxxgdxxfxgyE即到达该站的每个乘客由于候车，平均浪费11.67分钟。