08年研究生试题解答

济南大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题参考答案与评分标准一、（25分）解：（1）初始时刻012222dxexdxxxx2122222222dxexdxxxx2])([2122xxxdxexppxi)0,(21)(2202222)(4122412)()(121pppxixpxiedxeee…………10分02)(pdpppp22202222)(pdpppp2])([2122ppp2px…………10分（2）t时刻的波函数：])/1(2)/()(exp[)]([)(21),(2220021)2(2mtimtpxmtpxipmtidpeptxtmppxi……………5分二、（25分）解：（1）因为lmlmzYmYl，xyzzylillll][所以])([1)(1***dYlYldYlYmidYlylllYillmylmzlmylmlmzzylmx=0])([1**dYlYmdYlYmilmylmlmylm又因为yzxxzlillll][，所以])()([1)(1***dYlYmdYlYlidYllllYillmxlmlmxlmzlmzxxzlmy0])([1**dYlYmdYlYmilmxlmlmxlm…………10分（2）因为),(lmYlm,)(21),(21llillllyx所以lmlllllllllmlmllmx412lmlllllm41lmlllllllllmlmllmy412lmlllllm412xl2yl由于2222zyxllll，所以2xl2yl=])1([2212222mllllz又因为2222)(xxxxllll，2222)(yyyyllll所以22xxll，22yyll则有22yxll])1([222mll…………15分三、（25分）解：在0xa与-ax0区间，定态方程均为)1(2,0)()(2222Ekxkdxxd其解为(2)0,cossin)(111xakxBkxAx(3)0,cossin)(222axkxBkxAx……………10分因)0(V,故0)0(。由此得021BB，式(2)与(3)变为(4),sin)(axkxAx,1,2,3,n,0)(故有得由nkaa2nE,22222n2aEank,0,sin)(axaxaxnAxnn………………12分由波函数的归一化条件得a1nA………………3分四、（25分）解：（1）由1000100010E010100001a010100001a1000100010E得HA=AH，A同H对易，故A为守恒量。……………………6分（2）H的本征态矢为正交基矢|1〉=001，|2〉=010，|3〉=100（2）相应得能量本征值为01EE，032EEE。由于A同H对易，故存在他们的共同本征矢量组，H的本征值为0E本征态|1〉是非简并的，|1〉必定也是A的本征态，H的本征值为0E的本征态是二度简并的，它们不一定是A的本征态，经检验|2〉与|3〉不是A的本征态。考虑到这两个态的任意线性组合仍是H的本征值为0E的本征态，可以选择合适的组合系数，使之也成为A的本征态，令|323203|2|cccc（3）由A的本征方程A|,|A即010100001a320cc=A320cc（4）解得：A=a，320cc=;11021A=a，320cc=11021,A=a，320cc=)5(;11021因此，H与A的共同本征态矢组为|1〉，),3|2(|21)6).(3|2|(21),3|2(|21或………………15分与这三个本征态相应本征值分别为01EE，032EEE；,21aAAaA3（7）……………………4分五、（25分）解：（1）基态能量是2度简并的，相应的的态矢为：0011和0102，令零级近似波函数为：2211)0(cc系数满足下列方程：021)1(222112)1(11ccEHHHEH上式ijH直接由矩阵H给出，则上式为：02221)1()1(ccEE，解得：)1(1E，112121cc3)1(2E，112121cc，……………………15分基态的一级近似能量与零级近似态矢为；01EE，01121)(2121)0(1，301EE，01121)(2121)0(1。……………………5分（2）激发态能量02E是非简并的，二级能量近似与一级近似态矢量为：020)0(2)0(3223)0(2)0(321333021822EEEEHEEHHEE1/3/30103001310000003EEEE。……………………5分六、（25分）解（1）体系的哈密顿量为)23ˆ(2ˆˆˆ2221SASSAH（1）Hˆ的本征态矢与本征值为)4(4,11211AAE（2）22,10E，33,11E，3,0044E（3）任意时刻的态矢为00]1,11011[)(34321titieccccet（4）………………12分)2()1(001,11011)0(4321cccc（5）其中0)2()1()]2()1([)0(111c21)2()1()2()1()]1()2()2()1([21)0(102c0)2()1()]2()1([)0(113c21)2()1()2()1()]1()2()2()1([21)0(004c………………8分将上面系数代入（4）式，有)]1()2()()2()1()[(2100211021)(333titititititieeeeeett时刻，粒子1的自旋处在z轴正方向的几率为：teetiti223cos41………………3分（2）由于在)(t中不存在)2()1(态，所以两个粒子同时处在沿z轴正方向的几率为0。………………2分