0910上外招线性代数期末试题A卷答案

第1页共5页暨南大学考试试卷得分评阅人一、判断题（共6小题，对的打√，错的打X，请在答题框内答题，每小题1分，共6分）123456X√X√X√1.已知A2=A，那么A=E或者A=0。2.方阵A的秩小于其阶数，那么他对应的行列式值为0。3.两个n阶方阵相乘等于0矩阵，那么他们的秩都小于n。4.奇排列变成标准排列的对换次数为奇数。5.若向量组a1，a2，…,an是线性相关的，那么a1可以由a2，…,an线性表示。6.除零向量外任意向量的范数都大于0。教师填写2009-2010学年度第一学期课程名称：线性代数引论授课教师姓名：张庆丰，朱蔚恒考试时间:2010年1月11日课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B)[A]共6页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[]外招[√]题号一二三四五六七八九十总分得分暨南大学《线性代数引论》试卷考生姓名、学号：第2页共5页得分评阅人二、单项选择题（请将最合适的选项填在答题框内，共10小题，每小题2分，共20分）12345678910DDCCAADDCA1.设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有。A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E2.下面说法正确的一项是。A．若A2=0，那么A=0。B．若A2=A，那么A=0或A=E。C．若AX=AY，且A≠0，那么X=Y。D．以上论断皆不正确。3.若jiaaaaa54435231是五阶行列式中带正号的一项，则i,j的值为。A.i=1,j=3B.i=2,j=3C.i=1,j=2D.i=2,j=14.下面说法正确的一项是。A.向量空间的基是唯一的。B.向量空间对加法与矩阵乘法满足封闭性。C．齐次线性方程组的全体解构成一个向量空间。D．向量空间的最大无关组的秩小于向量空间的维数。5.用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的。A.行变换B.列变换C.既非行变换也非列变换C.既是行变换也是列变换6.若n元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r，则当时，方程组有无穷多解。A.rnB.r=nC.r≤nD.r=n且r07.设向量组)0,3,12(1，，)2,0,2,1(2，)1,3,5,0(3，)0,,3,1(4t则t=时，向量组线性相关。A.0B.-1C.-2D.-38.n阶方阵A满足20A，E是n阶单位阵，则。A.0EA，但0EAB.0EA，但0EAC.0EA，且0EAD.0EA，且0EA暨南大学《线性代数引论》试卷考生姓名、学号第3页共5页9.设A，B均为n阶方阵，则下列结论正确的是。A.A，B均可逆，则A+B可逆；B.A或B可逆，则AB可逆；C.A或B不可逆，必有AB不可逆；D.A，B均不可逆，则A+B不可逆10.设均为维列向量，阶方阵，。如果，则。A.0B.5C.10D.-5得分评阅人三、计算题（共5小题，每小题10分，共50分）1.向量组α1=（5，6，7，7），α2=（2，0，0，0），α3=（0，1，1，1），α4=（7，4，5，5）是否线性相关？如果线性相关，求出它们的相关表达式。解：对向量组对应矩阵进行初等行变换得到行最简型0000210010101001000010014106702551075107410670252/1*26*135*1223132334rrrrrrrrrrrrr所以相关表达式为α1+α2-2α3=α42.设A=101020101,且AB+E=A2+B,求B。解：AB+E=A2+B→（A-E）B=(A2-E)→(A-E)B=(A-E)(A+E)由于|A-E|=0001010100，所以（A-E）有逆，对(A-E)B=(A-E)(A+E)两边同时左乘（A-E）的逆，有B=A+E=201030102暨南大学《线性代数引论》试卷考生姓名、学号：第4页共5页3.使用初等变换法求下列方阵的逆阵。1210232112201023解：106121000631101001010001042110001106121000430111009602101064011001201012004301110010001210210001011000121003015940001012200100232110001210010023210010122000011023434241312*322*342*244*232*21423*1331rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr4.计算4阶行列式dcba100110011001解:1100011000110001100110001100011001100110001100110011001)/()1(*34)1/(*23/1*12abadcdabcdacabcabadcdabcdabaccabaabadabaccabaabadcaabadcbaacabcabrrabarrarr暨南大学《线性代数引论》试卷考生姓名、学号第5页共5页5.求线性方程组的解:8311102322421321321xxxxxxxx解：对方程组的增广矩阵进行初等变换60002/174/112/5021242/54/112/502/174/112/50212480311102132124234/11*134/3*12rrrrrr系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以原方程组无解。得分评阅人四、证明题（共3小题，每题8分，共24分）1.设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n证明：R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n(1)-------4分因为A*(A-E)=A2-E=O,所以R(A)+R(A-E)≤n(2)-------4分由（1）（2）可得R(A)+R(A-E)=n2.设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1证明：A2-A-2E=0→A2-A=2E→A∙(A-E)=2E→A∙(A-E)/2=E所以A可逆，A的逆为(A-E)/2-------4分A2-A-2E=0→A2=A+2E→E=(A-1)2(A+2E),所以(A+2E)可逆，其逆为(A-1)2=((A-E)/2)2=(A2-2A+E)/4=(A2-A-2E-A+3E)/4=(3E-A)/4-------4分3.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(1)若|A|=0，则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n-1证明：（1）|A|=0→A•A*=0,所以R(A)+R(A*)≤n，对A分析，若A=0，那么有伴随矩阵的定义有A*=0，若A≠0，那么R(A)≥1,由R(A)+R(A*)≤n可知，R(A*)n，所以|A*|=0-------4分（2）A•A*=|A|•E，两边同时取行列式,有|A•A*|=|A|n若|A|≠0，那么由|A|•|A*|=|A•A*|=|A|n，可知|A*|=|A|n-1若|A|=0，那么由(1)的结论|A*|=0可知|A*|=|A|n-1-------4分