勾股定理中的方程思想-qcf

勾股定理中的方程思想八年级一部数学组BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方abc22abc2在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？ACB在△ABC中，∠C=Rt∠,(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.(2)如果AC=5,AB=BC+1,求AB、BC的长.解：（1）设AB=5x,则AC=3x(x0)由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2解得：x2=16∵x0∴x=4∴AB=20,AC=12.165x3x(2)设BC=x,则AB=x+1(x0)由勾股定理得x2+52=(x+1)2解得：x=12∴BC=12,AB=13.ACBxx+1在△ABC中，∠C=Rt∠,(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.(2)如果AC=5,AB=BC+1,求AB、BC的长.在直角三角形中（已知两边的数量关系）设其中一边为x利用勾股定理列方程解方程求各边长１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ABC5米(X+1)米x米解设AC的长为X米，则AB=(x+1)米2、有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？DBAC解:设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，由题意，得x2+52=(x+1)2有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？DBAC解得：x=12答：水深12尺，芦苇长13尺。5x1x+1EDBCAAB的中垂线DE交BC于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD==33、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，求AD的长.x3-x如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，求AD的长.解：∵AB的中垂线DE交BC于点D∴AD=BD∵BC=3∴BD+CD=AD+CD=353∴AD=设AD=x,则CD=3-x，由勾股定理得：x2=(3-x)2+1253解得:x=EDBCAx3-x4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.EDCBAxx8-x6644、《助学》P6自主评价76、如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，BC'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.EC'DABC如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBD解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2∴x=10答：E站应建在离A站10km处。x25-xCAEBD15101、小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？3020x50-x22223020(50)xx20()x解得尺2、在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ABCD5m10mABCD解：如图，D为树顶，AB=5m,BC=10m.设AD长为xm，则树高为(x+5)m.∵AD+DC=AB+BC,∴DC=10+5–x=15-x.在Rt△ABC中，根据勾股定理得解得x=2.5答：树高为7.5米。5m10m∴x+5=2.5+5=7.5102+(5+x)2=(15–x)2已知：如图，△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，求△ABC的面积.如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？ABC小结应注意：没有图的要按题意画好图并标上字母.归纳小结•在直角三角形中，利用勾股定理列方程解决问题是我们常用的方法；•1、把已知和要求的问题转化到某直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；2、如果已知和要求的问题集中在两个直角三角形中，我们可以利用它们的公共边或相等的边列方程求解。