1-1第2章§222抛物线的简单性质

第二章§22.2一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝94xB．x2＝43yC．y2＝－94x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝43y[答案]D[解析]∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p0)或x2＝2p′y(p′0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝94，4＝6p′，p′＝23.2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y2＝－2px(p0)的焦点恰好与椭圆x29＋y25＝1的一个焦点重合，则p＝()A．1B．2C．4D.8[答案]C[解析]椭圆中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，抛物线y2＝－2px(p0)的焦点F(－p2，0)与F1重合，∴－p2＝－2，∴p＝4，故选C.3．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)[答案]B[解析]∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．4．抛物线y2＝4x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A．1B．2C．4D．8[答案]B[解析]∵点P(a,2)在抛物线上，∴4a＝4，∴a＝1，∴点P(1,2)．又抛物线的焦点F坐标为(1,0)，∴|PF|＝0＋4＝2.5．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有()A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|B．|PP1|＝12|AB|C．|PP1|12|AB|D．|PP1|12|AB|[答案]B[解析]如图，由题意可知|PP1|＝|AA1|＋|BB1|2，根据抛物线的定义，得|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BC|，∴|PP1|＝|AF|＋|BF|2＝12|AB|.6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]C[解析]设抛物线方为y2＝2px(p0)．如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠FA1A，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠AF1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝12∠AFB＝90°.二、填空题7．(2014·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA||FB|，则|FA||FB|＝________.[答案]3＋22[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1，y2＝4x，消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋22，x2＝3－22，故由抛物线的定义可得|FA||FB|＝x1＋1x2＋1＝3＋22.8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案]x＝－2[解析]由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a＝________.[答案]±23[解析]设正三角形边长为x.由题意得，363＝12x2sin60°，∴x＝12.当a0时，将(63，6)代入y2＝ax，得a＝23.当a0时，将(－63，6)代入y2＝ax，得a＝－23，故a＝±23.三、解答题10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．[答案](1)略(2)±16[解析](1)如图所示，由方程组y2＝－xy＝kx＋1，消去x得，ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－1k.∵A，B在抛物线y2＝－x上，∴y21＝－x1，y22＝－x2，∴y21·y22＝x1x2.∵kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝1y1y2＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝12·1·y1＋y22－4y1y2＝12－1k2＋4.∵S△OAB＝10，∴10＝121k2＋4，解得k＝±16.一、选择题11．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D.－8[答案]B[解析]y＝ax2⇒x2＝1ay，由题意得14a＝－2，a＝－18，故选B.12．设抛物线y2＝8x的准线与x轴相交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则此直线的斜率的取值范围是()A．[－12，12]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4][答案]C[解析]准线x＝－2，Q(－2,0)，设y＝k(x＋2)，由y＝kx＋2y2＝8x，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；当k≠0时，由Δ≥0得，－1≤k0或0k≤1，综上，k的取值范围是[－1,1]，故选C.13．已知A、B在抛物线y2＝2px(p0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()A．x－p＝0B．4x－3p＝0C．2x－5p＝0D．2x－3p＝0[答案]C[解析]如图所示：∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB.∴AB为垂直于x轴的直线，设A(2pt2,2pt)(t0)，B(2pt2，－2pt)，∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴kOB·kAF＝－1.即－2pt22pt2－p2·2pt2＝－1，整理，解得t2＝54.∴直线AB的方程为x＝2pt2，即x＝52p，∴选C.14．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．25[答案]B[解析]本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识．由于抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点且经过点M(2，y0)，可设方程为y2＝2px，由点M到抛物线焦点的距为3，则由抛物线定义得2＋p2＝3，解得p＝2，则y2＝4x，又M(2，y0)在抛物线y2＝4x上，则y20＝8，|OM|＝22＋y20＝12＝23.二、填空题15．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x2＋ky2＝3k(k0)的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案]32[解析]抛物线的焦点为F(3,0)，椭圆的方程为：x23k＋y23＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴a＝23，c＝3，离心率e＝ca＝32.16．过点P(2,2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则AB所在的直线方程为______________．[答案]3x－4y＋2＝0[解析]解法一：设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y21＝3x1，①y22＝3x2，②x1＋x2＝4，y1＋y2＝4.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)．④将③代入④得y1－y2＝34(x1－x2)，即34＝y1－y2x1－x2，∴k＝34.∴所求弦AB所在直线方程为y－2＝34(x－2)，即3x－4y＋2＝0.解法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋2.由y2＝3x，y＝kx－2＋2.消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由韦达定理和中点坐标公式，得y1＋y2＝3k，又y1＋y2＝4，∴k＝34.∴所求弦AB所在直线方程为3x－4y＋2＝0.三、解答题17．已知圆x2＋y2－9x＝0，与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．[答案]y2＝4x[解析]依题意设所求抛物线方程为y2＝2px(p0)，焦点Fp2，0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则y20＝2px0x20＋y20－9x0＝0，∴x20＋(2p－9)x0＝0.①∵OA⊥BF，∴kOA·kBF＝－1.∴y0x0·y0p2－x0＝－1，即2px0x0p2－x0＝－1.∴x0＝52p.②把②代入①得p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.18．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[答案]y2＝－4x[解析]如图所示，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则直线方程为y＝－x＋12p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，即x1＋p2＋x2＋p2＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由y＝－x＋12py2＝2px，消去y得x2－3px＋p24＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.