1-1第3章§1变化的快慢与变化率

第三章§1一、选择题1．函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D[解析]写出自变量x0和x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A．12B．24C．2D．－12[答案]A[解析]Δy＝f(3)－f(1)＝33－3＝24，∴ΔyΔx＝243－1＝12.故选A.3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中．平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．已知函数y＝2x，当x由2变为1.5时，函数的增量为()A．1B．2C.13D.32[答案]C[解析]Δy＝21.5－22＝13.5．若函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2[答案]C[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋2Δx2，∴ΔyΔx＝4＋2Δx.6．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．3Δt＋6B．－3Δt＋6C．3Δt－6D．－3Δt－6[答案]D[解析]平均速度为5－31＋Δt2－5－3×121＋Δt－1＝－3Δt2－6ΔtΔt＝－3Δt－6，故选D.二、填空题7．y＝x2－2x＋3在x＝2附近的平均变化率是________．[答案]2＋Δx[解析]Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx)2＋2Δx.∴ΔyΔx＝Δx2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.8．物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2到t＝4的平均速度是________．[答案]2.2[解析]由题意，可得Δt＝4－2＝2，Δs＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为ΔsΔt＝4.42＝2.2，故填2.2.9．一个做直线运动的物体，其位移s与时间t的函数关系是s＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为____________．[答案]－1[解析]因为Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝6＋3Δt－4－4Δt－(Δt)2－6＋4＝－Δt－(Δt)2所以ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于－1，故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[答案]5和4[解析]自变量x从1变到3时，函数f(x)的平均变化率为f3－f13－1＝32＋3－12＋12＝5，自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝22＋2－12＋11＝4.一、选择题11．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．12＋Δt＋9ΔtC．12＋2ΔtD．12[答案]C[解析]ΔsΔt＝[23＋Δt2＋5]－2×32＋5Δt＝12＋2Δt.12．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1的瞬时速度为3，则a＝()A．－1B．0C．1D．7[答案]A[解析]Δs＝2(1＋Δt)2＋a(1＋Δt)＋1－(2＋a＋1)＝Δt2＋(4＋a)Δt，由条件知limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(Δt＋4＋a)＝4＋a＝3，∴a＝－1.13．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定[答案]A[解析]k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx.由题意知：Δx0，∴k1k2，选A.14．已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．3B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D．3－Δx[答案]D[解析]Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.15．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s[答案]A[解析]ΔsΔt＝2[1－1.2＋Δt2]－21－1.22Δt＝－4.8－2Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于－4.8，故物体在t＝1.2s末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案]28π3[解析]∵Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，∴ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.17．已知s(t)＝12gt2，则t＝3s到t＝3.1s的平均速度为________．(g取10m/s2)[答案]30.5m/s[解析]平均速度为ΔsΔt＝12g3.12－323.1－3＝30.5(m/s)．三、解答题18．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔsΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．[答案](1)12.03cm/s(2)12cm/s[解析]ΔsΔt＝st＋Δt－stΔt＝3t＋Δt2＋2－3t2＋2Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评]本题重点是求质点M的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度．