1-1第4章§22.2最大值最小值问题第2课时

第四章§22.2第2课时一、选择题1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033.当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝2033时，V取最大值．2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对[答案]B[解析]设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x4时，y′0，函数单调递减；当4x≤8时，y′0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为6－12x－16x4＝32－7x(m)，容积V＝3x·4x·32－7x＝18x2－84x30x314，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝17或x＝0(舍去)．x∈0，17时，V′0，x∈17，314时，V′0，所以在x＝17处，V有最大值，此时高为0.5m.4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0得h＝43R.当0h43R时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．故应选C.5．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A.3VB.3VπC.34VD．23V2π[答案]D[解析]设底面圆半径为r，高为h，则V＝πr2h，∴h＝Vπr2.∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·Vπr2＝2πr2＋2Vr.∴S表′＝4πr－2Vr2，令S表′＝0得，r＝3V2π，又当x∈(0，3V2π)时，S表′0；当x∈(3V2π，V)时，S表′0，∴当r＝3V2π时，表面积最小．6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.203C．－1D．－8[答案]C[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.二、填空题7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π27R，∴S′(R)＝2πR－54πR2＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．[答案]20[解析]设船速为每小时x(x＞0)公里，燃料费为Q元，则Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝3500，即Q＝3500x3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y＝(3500x3＋96)·1x＝3500x2＋96xy′＝3250x－96x2，令y′＝0，即3250x－96x2＝0，解之得：x＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案][解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝π2x2＋2hx，h＝S2x－π4x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx，∴L′＝π2＋2－Sx2.由L′＝0，得x＝2Sπ＋4，x∈0，2Sπ＋4时，L′0，x∈2Sπ＋4，＋∞时，L′0，∴当x＝2Sπ＋4时，L取最小值，此时hx＝2S－πx24x2＝2S4x2－π4＝π＋44－π4＝1.三、解答题10．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋10150x－blnx10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[答案](1)f(x)＝－x2100＋10150x－lnx10(x≥10)(2)24.4万元[解析](1)由条件可得a×102＋10150×10－bln1＝19.2，a×302＋10150×30－bln3＝50.5，解得a＝－1100，b＝1，则f(x)＝－x2100＋10150x－lnx10(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－x2100＋5150x－lnx10(x≥10)，则T′(x)＝－x50＋5150－1x＝－x－1x－5050x，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－502100＋5150×50－ln5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.一、选择题11．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50[答案]C[解析]如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.12．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.12πr2[答案]A[解析]设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r2－r21.∴S＝4πr2r21－r41.令(r2r21－r41)′＝0得r1＝22r.此时S＝4π·22r·r2－22r2＝4π·22r·22r＝2πr2.13．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x39000＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300[答案]D[解析]由题意可得总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000,0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x≤300时，p′(x)0；当300x≤390时，P′(x)0，所以当x＝300时，P(x)最大，故选D.二、填空题14．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案]3m3[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x32)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x2，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.15．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案]25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．三、解答题16．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2x6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[答案](1)10(2)3.3元/套[解析](1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝10x－2＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)[10x－2＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2x6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2x6)．令f′(x)＝0，得x＝103，且在(0，103)上，f′(x)0，函数f(x)单调递增；在(103，6)上，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以x＝103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．17．(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝1128000x3－380x＋8(0x120)．(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？[答案](1)11.95升(2)200千米[解析](1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油(1128000×643－380×64＋8)×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，(1128000x3－380x＋8)×ax＝22.5，∴a＝22.51128000x2＋8x－380，设h(x)＝1128000x2＋8x－380，则当h(x)最小时，a取最大值，h′(x)＝164000x－8x2＝x3－80364000x2，令h′(x)＝0⇒x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)0，当x∈(80,120)时，h′(x)0，故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为∴a＝22.51128000×802＋880－380＝200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．18．设有一个容积V一定的有铝合金盖的