1-3-1导数试题

基础巩固强化一、选择题1．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]A[解析]y′＝4x3－4x令y′0，即4x3－4x0解得x－1或0x1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)0[答案]B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x0时，f′(x)0，g′(x)0.4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m43，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，∴m≥43，故p是q的必要不充分条件．5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.6．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当－π2x0时，cosx0，∴y′＝xcosx0.当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.当π2xπ时，cosx0，∴y′＝xcosx0，故选A.二、填空题7．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.8．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得x12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．9．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．[答案](－∞，－13)，(1，＋∞)[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′0得，x1或x－13.三、解答题10．已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10，点P(x，y)在该曲线上移动，在P点处的切线设为l.(1)求证：此函数在R上单调递增；(2)求l的斜率的取值范围．[解析](1)证明：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋1)＋3＝3(x＋1)2＋30恒成立，∴此函数在R上递增．(2)解：由(1)知f′(x)＝3(x＋1)2＋3≥3，∴l的斜率的取值范围是k≥3.能力拓展提升一、选择题11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0x1，∴f′(x)＝2xln2＋3x20在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，f(0)f(1)0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．[点评]有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．12．函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋a，由条件f′(1)＝0，∴a＝－3，b∈R.[点评]如果f(x)在(a，b)上单调增(减)，在(b，c)上单调减(增)，且f(b)有定义，则必有f′(b)＝0.13．若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案]A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评]B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．14．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数．当x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.二、填空题15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋4，若函数y＝f(x)在(0,2)内单调递减，则实数a的取值集合是____________；若函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,2)，则实数a的取值集合是________．[答案]{a|a3}{3}[解析]y′＝3x2－2ax，(1)由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.(2)由题意不等式3x2－2ax0的解集是(0,2)，∴2a3＝2，∴a＝3.[点评]要注意区分f(x)在区间A内单调递减和f(x)的单调递减区间为A.三、解答题16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．17．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)0，即f(x)0，不合题意．综合得a的取值范围为(－∞，1]．1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为________．(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为________．[答案](1){0}(2){a|a0}[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴3－2a3＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有3－2a31，∴a0，∴a的取值集合为{a|a0}．[点评]f(x)的单调减区间为(m，n)，则必有f′(m)＝0，f′(n)＝0或x＝m，x＝n是函数f(x)的不连续点，f(x)在区间(m，n)上单调递减，则(m，n)是f(x)的单调减区间的子集，f′(x)≤0在(m，n)上恒成立．2．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g′(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.3．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.