1-5无穷小阶的比较1

421.6无穷小阶的比较1无穷小的比较设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1)如果0lim0xx，则称是比高阶的无穷小，记为()o；也说是比低阶的无穷小。(2)如果0limxxc(c是不为0的常数)，则称是与同阶的无穷小。(3)如果0lim1xx，则称与是等价无穷小，记作或。(4)如果0limkxxc(0k，c是不为0的常数)，则称是关于的k阶无穷小。例如0x时，23()xox，sinxx，1cosx与2x是同阶无穷小，同时1cosx也是关于x的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x时，1()fxx，sin()xgxx都是无穷小。由于()1limlim()sinxxfxgxx和()limlimsin()xxgxxfx都不存在，因此，1()fxx与sin()xgxx不能进行阶的比较。例10x时，比较1cosx与2x的阶。解2222000022sin2sinsin1cos111222limlimlimlim12224()22xxxxxxxxxxxx。0x时，1cosx与212x是等价无穷小。定理1.5.1设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则()o。例如0x时，211cos2xx，故2211cos()2xxox，即221cos1()2xxox，于是在0x的小邻域内可以用2112x近似代替cosx。定理1.5.2设,,,都是自变量同一变化过程中的无穷小，且，，若43lim存在，则limlim。证明limlimlimlimlimlim。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。例2求330sin5lim(sin2)xxx。解0x时，sin2~2xx；又0x时350x，所以33sin5~5xx。因此333300sin555limlim(sin2)(2)8xxxxxx。例3求极限30tansinlimxxxx。解1sin(1cos)tansinsin(1)coscosxxxxxxx。0x时，sin~xx，211cos2xx，所以23330001tansinsin(1cos)12limlimlimcoscos2xxxxxxxxxxxxxx。若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。20x时几个常见的无穷小0x时，sinxx,tanxx，211cos2xx，arcsinxx，arctanxxln(1)xx，1lnxaxa(0a1a)，(1)1axax(0a)。例4证明0x时，sinh1xxe。证明sinh(1)(1)12(1)2(1)xxxxxxxxeeeeeee1122(1)xxee0x时，1xex，因此，1xex，故0011limlim2(1)22xxxxexex44于是0sinh11lim()1122xxxxe即0x时，sinh1xxe。作业:P451,2.