1.1.11.1.2充分条件和必要条件教案

1§1.1.2充分条件和必要条件（1）教案教学目标：1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；3．培养学生的辩证思维能力．教学重点及难点：1．充分条件、必要条件的判断；2．理解充分条件、必要条件的判断方法．讲授新课：一、复习引入同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子．那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．2．四种命题及相互关系：二、学生活动问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab=0，则a=0（3）若x21，则x1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“”的含义奎屯王新敞新疆“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；“若p则q”为假，记作pq（或qp）.命题(1)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”说明：“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q2成立，即表示“p蕴含q”。三、建构数学一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；充分”即够了,”必要”的意思是不可少.回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.命题(1)中因x＝yx2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；“命题(2)中因a=0ab=0，，所以“a=0”是“ab=0”的充分条件.“ab=0”是“a=0”的必要条件.ab=0a=0，所以“ab=0”不是“a=0”的充分条件，“a=0”不是“ab=02”的必要条件；命题(3)中，因“x1x21”，所以“x1”是x21的充分条件，“x21”是“x1”的必要条件.x21x1，所以“x21”不是“x1”的充分条件，“x1”不是“x21”的必要条件.命题4)中，因x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而qp.(2)必要不充分条件，即：pq，而qp.(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.或)(qp(4)既不充分又不必要条件，即pq，又有qp.四、数学运用例1填表pqqp(真假)pq(真假)p是q的什么条件y是有理数y是实数真假充分不必要x5x3真假充分不必要m，n全是奇数m+n是偶数真假充分不必要baab真假充分不必要BxAx且BAx真真充分必要0ab0a假真必要不充分021yxx=1且y=2假真必要不充分3集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.给定两个条件p,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}qp,相当于BA,pq,相当于BA,qp相当于BA例3.已知p∶x2-8x-20＞0，q∶x2-2x+1-a2＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.解2.p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有.101,21,0aaa解得0＜a≤3.五、本节回顾本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.2）判断充分、必要条件的基本步骤：①认清条件和结论；②考察pq和qp的真假。3）判别技巧：①可先简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。六、课后练习1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；②对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的充分条件；③“x3”是“|x|3”的必要条件；④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件；⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；42．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的_充分_条件．4．44是22的什么条件?并说明理由.解：2244但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足44但不满足22所以44是22的必要但不充分条件.5、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的(A)（A）充分非必要条件，（B）必要非充分条件，（C）充分且必要条件，（D）既不充分也不必要条件7．设p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件．七、课外作业课时训练第2课时5§1.1.2充分条件和必要条件（2）教案教学目标：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；教学重点、难点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．教学过程：一、复习回顾一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件二、活动尝试在数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若ab,则a+cb+c;（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ0．这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、问题情境：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x2，q：x1；（2）p：x1,q：x2；（3）p：x0,y0，q：x+y0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：（1）∵x2x1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.（2）∵x1x2，但x2x1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.（3）∵x0,y0x+y0，x+y0x0,y0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.四、建构数学1．相关的概念如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条。说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。五、数学运用1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性62．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例1：(1)两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？解：l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的充分不必要条件延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2且斜率存在的什么条件？(2)若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？解：QPNMQQM,即MM是Q的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例2：求关于x的一元二次不等式21axax于一切实数x都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040aaaaaa或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么*例3:求证实系数一元二次方程20xpxq有两个异号根的充要条件是0.q解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性∵0.q∴方程20xpxq的240pq∴方程20xpxq有两个不相等的实根，设其为12xx，。∵120xxq·∴方程20xpxq有两个异号实根（2）再证必要性∵方程20xpxq有两个异号实根，设其为12xx，∴120xx·∵12xxq·∴0q由（1）（2）原命题得证。7评析注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：六、回顾与小结本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果pq且qp，则p是q的充要条件.七、课后练习1．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2．“A∩B=A”是A=B的(B).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件；4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是4a+b=0_____;5．判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B.解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故BA.而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴AB.故A为B的必要不充分条件.(2)∵ABA∪B=B，而当A=B时，A∪B=B，即qp，∴p为q的充分不必要条件.6：证明：对于x、yR，0xy是220xy的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个