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沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日1第一章集合与函数1.2.2函数的表示法主备教师：杨文贵一、内容和内容解析函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程．学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识．在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．图象法的优点是，直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．列表法的优点是，不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．在研究函数时，根据问题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采用解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法．分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．二、目标和目标解析1．掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．通过具体的实例，在不同的表示法的选择、转化中，逐步学会用恰当的方法表示一个函数，逐步养成用不同方法表示一个函数的习惯，尤其是增强数与形结合的意识．2．了解简单的分段函数，并能简单的应用．通过具体实例（如出租车资费、邮件资费等），以及画出含绝对值函数的图象，或者求含绝对值的函数的值域，认识分段函数是一种普遍存在的函数．3．会用列表、描点、连线的三步作图法画一些简单函数的图象，并能通过几何直观得到函数的有关信息（性质）．三、教学问题诊断分析1．初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日2法．因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的．（2）让学生用借助计算器，列表描点，画出给出解析式的函数的图象，加强各种表示法之间的联系．有条件的，可使用信息技术，利用计算机软件画出图象，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数概念及其表示法．如可补充如下函数：上述四个函数的图象如图1所示，依次为：（3）分段函数大量存在，但比较繁琐．一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，可以画含绝对值号的函数的图象，促使学生根据绝对值的意义把函数分段写出来，然后分段画出图象．还可以通过求分段函数的值域，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．四、教学基本流程沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日3五、教学过程设计1．用三种表示法表示同一个函数我们在初中就已经知道函数的三中表示法：解析法，图象法，列表法．问题1某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．（教科书第19页例3）设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念．这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同．通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．函数y＝5x不同于函数y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的像是（连续的）直线，而后者是5个离散的点．由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等．”让学生体会到三种表示方法各自的优点．为“问题2”（教科书第20页）提供一个具体的事例．解：这个函数的定义域是{1，2，3，4，5}．（1）用解析法表示为：y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．（2）用列表法表示为（3）用图象法表示，函数y＝f（x）的图象如图2所示．图2问题2（教科书第20的“思考”）（1）比较函数的三种表示法，各自有哪些优、缺点？（2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示．设计意图：通过比较，明确各种表示法的优点；通过举例，让学生通过自己的例子说明怎样用适当的表示法来表示某些函数．不是所有的函数都能用解析法表示，如心电图．讨论中，还可以问学生“函数图象可以是折线吗”让学生举例说明．（如y＝|x|）问题3：图3能表示某个函数的图象吗？为什么？沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日4图3设计意图：“那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？”通过讨论，进一步理解函数概念中“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”．组织学生讨论后，归纳出判断方法“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”．2．选择适当方法表示函数，以便分析其特点问题4（教科书第20页例4）下表是高一（3）班三位同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表．请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．设计意图：这里有三个用表格法给出的函数．要“对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当．教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数．通过比较各种不同的分析方法，达成共识：用图象法比较好．培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力．能够从图象中读出哪些信息也不要直接告诉学生，让学生经过观察、思考获得结论．比如总体水平（王伟成绩好）、变化趋势（赵磊的成绩在逐步提高）、与班级平均分的比较，等等．培养学生的观察能力、获取有用信息的能力．沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日5图4解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况（学习情况）．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如图4，那么就能比较直观地看到成绩变化情况．这对我们进行分析学习情况是有利的．从图4中可以看到，王伟同学的学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定，而且成绩优秀．张城同学的学习成绩不够稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度也比较大．赵磊同学的学习成绩低于班级平均水平，但是他的成绩呈上升趋势，表明他的成绩在稳步提高．必须提醒学生，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析学习情况，加以比较．3．分段函数及其表示问题5某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加2.4元（不足1公里按1公里计算）．某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．设计意图：让学生尝试选择适当表达方式来表示实际问题；学习分段函数及其表示．解：设资费为y元，里程为x公里．由题意，自变量x的取值范围是（0，6．根据解析式画出的图象如图5所示．沧源民族中学高一数学教学设计2011年8月6日6图5象问题5这样的函数称为分段函数．所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同．生活中有许多需要分段表示的函数，请你举出几个分段函数的例子，并画出它的图象．如分期付款，邮件资费等．再如y＝|x|＝4．课堂练习（一）教科书第23页，练习，1，2，3．（二）任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)|和y=f(|x|)的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．（三）某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值。如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}．5．小结通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？大致有：函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质．还学习了什么样的函数是分段函数．6．课后作业教科书第24页，习题1.2，7，8．