1.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)--集合与简单逻辑用语

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3.已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．1.A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.2.已知命题P：n∈N,2n＞1000，则P为________．3.条件p：a∈M＝{x|x2－x0}，条件q：a∈N＝{x||x|2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4.若命题“∈R，x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若，求实数p的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是________．A.T，V中至少有一个关于乘法封闭B.T，V中至多有一个关于乘法封闭C.T，V中有且只有一个关于乘法封闭D.T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)＝ax－bx2.(1)当b0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0a≤2b；(2)当b1时，证明：∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.1.(2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)0的解集为A，B＝{x|1x3}，A∩B≠，求实数a的取值范围．解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝1a－2＋1a2，x2＝1a＋2＋1a2，由此可知x10，x20，(3分)①当a0时，A＝{x|xx1}∪{x|xx2}，(5分)A∩B≠的充要条件是x2＜3，即1a＋2＋1a23，解得a67，(9分)②当a0时，A＝{x|x1xx2}，(10分)A∩B≠的充要条件是x21，即1a＋2＋1a21，解得a－2，(13分)综上，使A∩B≠成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪67，＋∞.(14分)第1讲集合与简单逻辑用语1.(2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足且S∩B≠的集合S的个数为________．A.57B.56C.49D.8【答案】B解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．故选B.2.(2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R},B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R},若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．【答案】12，2＋2解析：由A∩B≠得，A≠，所以m2≥m2，m≥12或m≤0.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]当m≤0时，|2－2m|2＝2－2m＞－m，且|2－2m－1|2＝22－2m＞－m，又2＋0＝2＞2m＋1，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m≥12时，只要|2－2m|2≤m或|2－2m－1|2≤m，解得2－2≤m≤2＋2或1－22≤m≤1＋22，所以实数m的取值范围是12，2＋2.点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．基础训练1.(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．∈N,2n≤10003.充分不必要解析：M＝＝(－2,2)．4.a≥3或a≤－1解析：Δ＝(a－1)2－4≥0，a≥3或a≤－1.例题选讲例1解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5.∴A＝[－2,5]．①当B≠时，即p＋1≤2p－≥2.由得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴2≤p≤3.②当B＝时，即p＋12p－＜成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A，A∪B＝B或等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果，求实数a的取值范围．解：有n种情况：其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)，①当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝,4]成立；②当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－，当a＝2时，M＝；③当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，≤x1＜x2≤f1≥0且f4≥0，1≤a≤4且Δ＞0.即－a＋3≥0，18－7a≥0，1≤a≤4，a＜－1或a＞2，解得：2＜a≤187，综上实数a的取值范围是－1，187.例2解：∵(A∪B)∩C＝，∵A∩C＝且B∩C＝，由y2＝x＋1，y＝kx＋b得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0，凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]∵A∩C＝，∴k≠0，Δ1＝(2bk－1)2－4k2(b2－1)0，∴4k2－4bk＋10，此不等式有解，其充要条件是16b2－160，即b21，①∵4x2＋2x－2y＋5＝0，y＝kx＋b，∴4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，∵B∩C＝，∴Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)0，∴k2－2k＋8b－190,从而8b20，即b2.5，②由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ10和Δ20组成的不等式组，得4k2－8k＋1＜0，k2－2k－3＜0，∴k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.变式训练已知集合A＝x，y1－yx＋1＝3，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝，求实数k的取值范围．解：集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.例3【答案】A解析：由于T∪V＝Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则，b∈T，由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭；另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对．从而本题就选A.例4证明：(1)ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0,∴a2－4b≤0，∴0＜a≤2b.(2)必要性，∵∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，对x∈(0,1]时a≥bx－1x且a≤bx＋1x，函数f(x)＝bx－1x在x∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b－1.函数g(x)＝bx＋1x在0，1b上单调减，在1b，1上单调增，函数g(x)的最小值为g1b＝2b，∴b－1≤a≤2b，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax－bx2＝－b(x－a2b)2＋a24b，a2b＝a2b×1b≤1×1b≤1，f(x)max＝a24b≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立；凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]综上命题得证．变式训练命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．解：使命题甲成立的条件是：Δ1＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0＞2.∴集合A＝{m|m2}．使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－160，∴1＜m＜3.∴集合B＝{m|1m3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：①m∈A∩B，②m∈A∩B.若为①，则有：A∩B＝{m|m2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有：B∩A＝{m|1m3}∩{m|m≤2}＝{m|1m≤2}；综合①、