1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)

-1-第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BCα因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.-2-［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P∴P∈AB，P∈平面α又AB平面ABC∴P∈平面ABC-3-∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1β，l2β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1α,P∈l2γ∴P∈α∩γ=l3②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l∴ABα，即lα同理b、c确定一个平面β，lβ.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。例6：如图正方体中，点C在与A、B不共面的其余8条棱上，画出过A、B、C三点的截面。三、课堂练习：课本P28习题6.-4-四、课堂小结：本节课我们讨论了平面基本性质——三个公理及其推论的简单应用，讨论了共面、共线、共点问题的证明，请同学们注意：对于共面问题的证明，一般地是先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内；对于点共线问题的证明，只要证明这些点都是某两个平面的公共点即可；对于线共点问题的证明，一般地是先证明某两条直线相交，然后再证明这个交点在其余直线上或者证明其余直线过这个交点.无论怎样的问题的证明、推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏，绝对不能东拉西扯、杂乱无章.五、课后作业：补充：1．不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内.已知：直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点.（注意：两两相交的意思是，如果n条直线两两相交，那么任一条直线与另外（n－1）条直线都相交，都有公共点.）求证：直线a、b、c、d共面.(证明略)2．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P、Q、R三点共线.证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P∴AB∩CD＝P∴AB、CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β∴ACβ，BDβ，平面α、β相交，∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R∴P、Q、R三点是平面α与平面β的公共点∴P、Q、R都在α与β的交线上故P、Q、R三点共线.3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，求证：C1、O、M三点共线.证明：∵C1、O、M∈面BDC1又C1、O、M∈面A1ACC1由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.∴C1、O、M三点共线.-5-4．已知：aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQα.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β，∴P∈β，aβ，Pa又P∈α，aα，Pa由推论1：过P、a有且只有一个平面∴α、β重合.∴PQα.5．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，设DM∩D1A1=Q.则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.QN即为所求作的直线l.（2）设QN∩A1B1＝P.∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1∴A1是QD1的中点，又A1P∥D1N∴A1P＝12D1N＝14C1D1＝14a∴PB1＝A1B1－A1P＝a－14a＝34a（二）1.预习课本P24~P25空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线.2.预习提纲（1）空间两条直线的位置关系有几种？各有什么特征？（2）怎样理解两条直线不同在任何一个平面？（3）公理4的具体内容是什么？（4）公理4用符号语言如何表示？