1.2函数及其表示(教案)

1[课题]：第一章集合与函数概念1.2函数及其表示主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月10日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第3周星期一至三、五（中秋放假）[课标、大纲、考纲内容]：课标要求教学大纲要求广东考试说明的内容①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用．④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．【教材与学情分析】函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思想方法。[教学目标]：知识目标：能力目标：情感态度与价值观目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，了解映射的概念。2.在实际情境中，理解表示函数的方法（如图象法、列表法、解析法）3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。4.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。1.会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质1.使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。2.经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。[教学重难点]：21、重点：使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。2、难点：对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。[课的类型、教具、教法、教时]：课的类型教具主要教法教时新授课多媒体课件合作探究交流4第1课时1.2.1函数的概念（一）【学习目标】1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型2、学习用集合语言刻画函数3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。【教学重难点】1.教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念2.教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解【教学过程设计】(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；(二)、教学过程一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。二、合作交流1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式3注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。3．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（3）函数是非空数集到非空数集的对应关系。（4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；],[}|{babxax),[}|{babxax],(}|{babxax),(}|{babxax],(}|{bbxx),[}|{axax三、精讲精练例1：求函数ｙ＝xxx12132的定义域。解：由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－23≤ｘ＜２且ｘ≠０，所以定义域为［－23，０）∪（０，２）．［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义变式训练一：求函数ｙ＝422xx的定义域；解：由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２4∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝．［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域；例⒉求函数ｆ(ｘ)＝112x，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．解：51121)2(,21111)1(,1101)0(222fff．容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合：｛Rxxyy,11|2｝＝（０，１］．变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，a4，a2＋３a｝，a∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，求a，ｋ，Ａ，Ｂ．解：由已知条件和函数的定义可知：10＝a410＝a2＋３a３ｋ＋１＝a2＋３a⑴或３ｋ＋１＝a4⑵⑴显然无解，∵a∈Ｎ+，解⑵得：a＝２，ｋ＝５∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝．点评：本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。四、课堂小结：（可见“板书设计”）【板书设计】【作业布置】一、选择题⒈函数xxxy||)1(0的定义域是（）一、函数概念1.定义2.三要素3.二次函数值域4.区间二、典型例题例1：例2：5Ａ．{10|xx}Ｃ．{11|xxx或}Ｂ．{0|xx}Ｄ．{0,1|xxx}⒉已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为（）Ａ．［０，３］Ｂ．｛０，３｝Ｃ．｛０，１，２，３｝Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝⒊已知ｆ(ｘ)＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ(－１)］的值等于（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５二、填空题4.函数xxy22的定义域是_______________________5.已知ｆ(ｘ)＝２ｘ＋３，则ｆ(１)＝_________________，f(a)=______________,ｆ[ｆ(a)]＝______________________．三、解答题6.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．教学反思：学生对函数概念感觉很抽象，难于理解。第2课时1.2.1函数的概念（二）——函数概念的应用【学习目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。【教学重难点】教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域．教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．【教学过程设计】1、创设情境下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？（1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x2；6（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；、（4）f(x)＝|x|；g(x)＝x2．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1求下列函数的定义域：（1）11xxy；（2）232531xxy；分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解：（1）由,01,01xx得,1,1xx即1x，故函数11xxy的定义域是1[，)．（2）由,05,0322xx得,55,3xx即5≤x≤5且x≠±3，故函数的定义域是{x|5≤x≤5且x≠±3}．点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：①分式中，分母不等于零．②偶次根式中，被开方数为非负数．③对于0xy中，要求x≠0．变式练习1求下列函数的定义域：（1）xxxy||)1(0；（2）xxxy12132．解（2）由,0||,01xxx得,0,1xx故函数xxxy||)1(0是{x|x0，且x≠1}．（4）由,0,02,032xxx即0,2,23xxx∴23≤x＜2，且x≠0，故函数的定义域是{x|23≤x＜2，且x≠0}．说明：若A是函数)(xfy的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f：AB而言，如果如果值域是C，那么BC，因此不能将7集合B当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；（2）f(x)=(x-1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)=5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}点评：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．变式练习2求下列函数的值域：（1）642xxy，1[x，)5；（2）113xxy；解：（1）2)2(2xy．作出函数642xxy，1[x，)5的图象，由图观察得函数的值域为