B5第4章

第4章动能定理功能原理29第4章动能定理功能原理4-1一个质量为70mkg的物体置于水平面上，物体与水平面间的摩擦系数0.25。将物体用一个轻绳系住后跨在定滑轮上，滑轮距地面的高度为2mh。现用一个竖直向下的恒力12NF=通过滑轮拉动物体，见图。求物体由a位置处被拉到b位置处，力F所作的功。分析该题中虽然施以恒力，但是作用在物体上的力F的方向时刻在变化，需要按照功的矢量定义式dAFr求解。解选取坐标如图4-1所示，力F所作的功为2122tan3022tan60dcosddd40.58JooxxhhFxAFxxhxFxxhxFr4-2质量为2kg的质点受到力F=3i+5j(N)的作用。当质点从原点移动到位矢为r=2i+3j(m)处时，此力所作的功为多少？它与路径有无关系？如果此力是作用在质点上的唯一的力，则质点的动能将变化多少？分析该题属于典型的变力作功，需要按照功的矢量定义式dAFr求解。解移动到任意点（x、y）时此力所做的功为d35d35AxyxyFrijij故移到（2、3）处时325321JA根据动能定理得质点的动能的变化为21JEA4-3如图所示，质量分别为m1、m2的两木块A和B用劲度系数为k的轻弹簧题4-1图hF30o60ox0x1x230大学物理习题分析与解答相连，静止地放在光滑水平桌面上。今有一质量为m的子弹以水平初速度v0射入木块A并嵌在其中，设子弹射入过程的时间极短，试求弹簧的最大压缩长度。分析子弹m与m1相碰过程中动量守恒。碰撞后，（m+m1）、m2、弹簧构成的系统机械能守恒、动量守恒。弹簧的最大压缩时，（m+m1）和m2的速度相同。解子弹与m1在入射前后系统在水平方向上动量守恒0110()mmmvv得0101mmmvv(1)式中v10是子弹射入后m与m1的共同速度。碰撞后，（m+m1）、m2、弹簧构成的系统机械能守恒、动量守恒。弹簧的最大压缩时，（m+m1）和m2的速度相同，由系统动量守恒得012()mmmmvv(2)由系统机械能守恒有22211012111()()222mmmmmkxvv(3)整理以上三式得20112()()mxmmmmmmkv4-4如图所示，一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量为m1及m2的物体（m1m2）。开始时，m1静止在水平桌面上，抬高m2，使绳处于松弛状态。当m2自由下落h距离后，绳才被拉紧。试求绳刚被拉紧时，两物体的速度及m1所能上升的最大高度。分析整个运动过程分三个阶段，第一阶段m2自由下落；第二阶段，绳子被拉紧瞬间，m1与m2组成系统的动量守恒；第三阶段，绳子拉紧后，物体m1与m2共同减速运动，直至速度为零，m1上升至最大高度。解有分析可知，整个运动过程可分成三个阶段。第一阶段m2自由下落。物体m2自由下落h距离时，正好绳子拉紧，此时m2的速度为v，方向向下，大小为题4-3图mv0BA第4章动能定理功能原理312ghv。第二阶段绳子被拉紧瞬间，m1与m2组成系统的动量守恒，设m1与m2的共同速度为V，则212()mmmVv即2212122mghmVmmmmv第三阶段绳子拉紧后，物体m2向下运动，m1向上运动，由于m1m2，m1与m2共同作减速运动，其加速度a为1212mmagmm物体m1以初速度V上升，其加速度与速度方向相反，设m1上升的最大高度为H，则有202()VaH即22222122mhVHamm4-5一劲度系数为k的弹簧竖直安放在地面上，其顶端连接一静止的质量为M的物体。又有一质量为m的物体，从距离M顶端为h处自由下落，与M作完全非弹性碰撞。试证明：弹簧对地面的最大压力gmMkhmggmMf)(1)(max。分析对整个运动过程需要分段考虑，第一阶段物体m自由下落过程；第二阶段物体m与物体M发生完全非弹性碰撞，这个过程物体m与物体M构成的系统动量守恒，物体m与物体M达到共同的速度；第三阶段物体m与物体M共同向下运动，当物体m、物体M速度为零时，弹簧达到最大压缩量，对地面的压力最大。这是一个变加速的运动，但整个过程物体m、物体M、弹簧与地球构成的系统机械能守恒，利用这一关系可以确定弹簧对地面的最大压力。解物体m自由下落过程，有2ghv(1)物体m与物体M完全非弹性碰撞过程，选泥块和水平板为系统，由于相互的冲力题4-4图////////////////////////////////////////////////////////////////m2hm132大学物理习题分析与解答远大于系统受的外力，系统碰撞前后动量守恒，设碰后木板与泥块的共同速度为V，则有()mMmVv(2)对于物体m与物体M向下运动过程，选物体m、物体M、弹簧及地球为系统，仅有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设物体M原始位置为重力势能零点，此时弹簧的压缩量为x0，泥块落下后与平板共同向下的最大位移为x，应有22200111()()()222kxMmVkxxMmgx(3)又由平板最初的平衡条件可得0Mgkx(4)由上述四式可得211()mgkhxkMmg当弹簧达到最大压缩量时对地的作用力最大，则有max02()()1()khfkxxMmgmgMmg4-6已知某双原子分子的原子间相互作用的势能函数为62121)(xCxCxEp其中C1,C2为常量，x为两个原子间距。此势能是将两个原子束缚在一起的力相联系的。试求：(1)原子间作用力的函数式；(2)原子间作用力为零的距离（即平衡间距）。解保守力等于势能的负梯度，即原子间作用力的函数式为126137dd126()ddpEABABfxxxxxx由0f得162()AxB4-7质量为m的物体在力F=f0e–kxi(式中f0、k均为大于零的常量）作用下，由坐标原点沿x轴由静止出发，试求：(1)此力对物体做功的最大值；(2)物体获得的最大速度。分析该题中虽然施以变力，但是作用在物体上的力F的方向是不变的，按照功的矢量定义式0ddxAFxFr求解。根据动能定理可知，力F对物体所作第4章动能定理功能原理33的功等于其动能的增量，此力对物体做功的最大时，物体获得的最大速度。解由功的定义可得0000dd(1)xxkxkxfAFxfexek故0maxfAk由动能定理得20maxmax12fAmkv02fkmmaxv4-8在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障。有一质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障一端，如图所示。设滑块与屏障之间的摩擦系数为，试证明当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所做功为2201(1)2fAmev.分析在滑块进入屏障后，除了受到重力和桌面对其支持力，水平方向上还要受到屏障对其支持力N和屏障对其摩擦力f。但所有这些力中只有摩擦力作功，因此只要求出滑块从屏障的另一端滑出时的速度，根据动能定理就可以得出摩擦力做的功。证明滑块m进入屏障后作圆周运动，水平方向受力如图4-8所示，它受到与速度方向相反的摩擦力f以及滑槽给予的支持力N。N是向心力，f是切向力，根据牛顿定律有2/NmRv(1)ddfNmtv(2)两式联立有2ddddddddddRttRvvvvvv即ddvv分离变量后积分0π0ddvvvv题4-8图v0Nf34大学物理习题分析与解答可得0evv由动能定理得摩擦力做功2222π00111(1)222fAmmmevvv4-9如图所示，有一自动卸货料斗车，满载时的质量为m0,从与水平成倾角α=30°斜面上的A点由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，料斗车下滑距离l时，与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当料斗车使弹簧产生最大压缩形变时，车自动卸货卸货后车重为m，而后车借助弹簧的弹性力作用返回原位置A再次装货。试问：要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？分析整个自动卸货的过程中，料斗车先加速后减速再加速再减速，过程比较复杂。但整体把料斗车和料看做一个系统，根据功能原理可知，系统始末状态机械能的减少，用于克服摩擦力做功。根据这一关系就可以很快确定空载时与满载时车的质量之比，并且避开了卸货的过程中复杂分析。解取弹簧被压缩到最大形变时的弹簧上端为坐标原点，沿斜面向上为x轴正方向，重力势能零点取在坐标原点处，如图所示系统在初态的机械能10()sinEmglx系统在末态的机械能2()sinEmglx根据功能原理，则有21fWEE即00(0.250.25)()()()sinmgmglxmmglx将030代入上式解得013mm4-10设两个粒子之间的相互作用斥力按f=k/r3的规律变化，其中r为两粒子之间的距离，k为常量。试求两粒子相距为r时的势能表达式。（设粒子间相互作用力为零的地方势能为零）。解粒子间相互作用力为零的地方势能为零，即两粒子间距离无穷远时势能为零，某点势能等于保守力由该点到零势能点的功题4-9图lAOx第4章动能定理功能原理35322prkkEdrrr4-11有两颗中子星质量都是1030kg,半径都是20km，相距1010m。若最初两者均静止，试问：(1)当两中子星的距离减小到一半时，它们的速度各是多大？(2)当两中子星就要碰上时，它们的速度又将各是多大？分析对于两颗中子星距离减小过程中，只有万有引力作功，故系统机械能守恒。解(1)对于两中子星系统，机械能守恒，所以有2221()2()2/2mmGmGrrv可得418.1710msGmrv(2)当两中子星就要碰上时，两星的距离为（2×20km），由机械能守恒有22241()2()2410mmGmGrv所以71411()4.0810ms410Gmrv4-12把登月舱构件从地面先发射到地球同步轨道站，再由同步轨道站装配起来发射到月球表面上。如图所示，已知登月舱构件质量共计为m=10.0×103kg,同步轨道半径r1=4.22×107m,地心到月心的距离r2=39.0×107m,地球半径Re=6.37×106m,月球半径Rm=1.74×106m,地球质量为Me=5.97×1024kg,月球质量Mm=7.35×1022kg,同时考虑到地球和月球的引力，试求上述两步发射中火箭推力各应作多少功。解设登月舱在同步轨道上的位置正好处在月-地连心线上，考虑到舱在地月共题4-12图用图r1Mmr2RmReMe同步定点地球月亮36大学物理习题分析与解答同引力下，它的引力势能等于它在地球引力场中的势能和月球引力场中的势能之和。舱在地面上时，势能为0112()6.2010JempeeMMEGmRrR舱在同步轨道上时，势能为110121()9.4810JempMMEGmrrr舱在月球表面上时，势能为2102()3.8310JempmmMMEGmrRR从地面到同步轨道推力做功10115.2510JppAEE从同步轨道到月球表面推力做功为21115.6510JppAEE4-13发射地球同步卫星要利用“霍曼轨道”，如图所示。设发射一颗质量为500kg的地球同步卫星，先把它发射到高度为1400km的停泊轨道上，然后利用火箭推力使它沿停泊轨道的切线方向进入霍曼轨道。霍曼轨道远地点A即同步高度36000km,在此高度上利用火箭推力使卫星进入同步轨道。试问：(1)先后两次火箭推力给予卫星的能量各是多少？(2)先后两次火箭推力使卫星的速率增加了多少？分析卫星进入不同的轨道都要克服地球的引力做功，使自身的能量增加，增加的能量来源于火箭的推力。解卫星在停泊轨道（圆形）运动时，设卫星在停泊轨道上的速率为sv，地球引力提供卫星运动的向心力，满足2211sMmGmrrv由此可得卫星在停泊轨道上的速率为题4