导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用编稿；周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.学习策略：①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。②数形结合，体会函数极值与最值的含义。③紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。4.写出的单调区间.注意：1．求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2．求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。知识点三：函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.注意：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.注意：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导1．利用导数讨论函数的单调区间应注意的问题①利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如.②在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。2．最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.经典例题透析类型一：利用导数解决函数的单调性问题1．设函数的图象与直线相切于点（1，－11）.（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单调性.思路点拨：先求函数的表达式，再利用导数确定函数的单调区间.解析：（1）∵的图象与直线相切于点（1，－11）.∴，即解之得a=1，b=－3.（2）由（1），得.令，解得x＞3或x＜－1.令，解得－1＜x＜3.∴当x∈（－∞，－1）和x∈（3，+∞）时，是增函数.当x∈（－1，3）时，是减函数.总结升华：利用导数求函数单调区间的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.④写出的单调区间.举一反三：【变式1】求函数的单调递增区间.【答案】令，解得：或，故函数的单调递增区间是，.【变式2】当时，求证：函数是单调递减函数.【答案】，∴，，∴故函数在上是单调递减函数.【变式3】在下列所给区间中，使函数是增函数的区间为（）.A．B．C．D．【答案】B；解析：，若在某区间是增函数，只需在此区间大于等于0（不恒等于0）即可.只有当时恒成立.∴只有B符合题意，2．已知a∈R，求函数的单调区间.思路点拨：已知函数解析式中含字母，需分类讨论.解析：.（1）当a=0时，若x＜0，则；若x＞0，则.所以，当a=0时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（2）当a＞0时，由2x+ax2＞0，解得或x＞0；由2x+ax2＜0，解得.所以，当a＞0时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（3）当a＜0时，由2x+ax2＞0，解得；由2x+ax2＜0，解得x＜0或.所以，当a＜0时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数.举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【答案】（1）当时，则恒成立，此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；（2）当时，，∴当时，函数有三个单调区间，增区间为：；减区间为：，.【变式2】已知f(x)=x2+1,g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x),试问：是否存在实数l，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【答案】假设存在实数l满足题设.F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),F′(x)=4x3-2(l-2)x,令4x3-2(l-2)x=0,（1）若l≤2，则x=0.当x∈(-∞,0)时，F′(x)＜0；当x∈(0,+∞)时，F′(x)＞0.∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.（2）若l＞2，则x=0或，当时，F′(x)＜0；当时，F′(x)＞0；当时，F′(x)＜0；当时，F′(x)＞0.∴F(x)的单调增区间是，，单调减区间是，.要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则，即l=4.故存在实数l=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.类型二：利用导数解决函数的极值问题3．求函数的极值.解析：令，解得，或当x变化时，与的变化情况如下表：3(3，+∞)+0—0+↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值，在处取得极小值.总结升华：利用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.举一反三：【变式1】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。【变式2】求函数的极值.【答案】令，解得或当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+∞)+0—0+↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值，在处取得极小值.4.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.思路点拨：先求函数的表达式，再求极值.解析：依题意，，即∴，令，得x=-1或x=1，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+∞)+0—0+↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值，在处取得极小值.总结升华：利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【答案】依题意得方程组解得.当a=-3,b=3时，令得x=1.x(-∞,1)1(1,+∞)+0+↗无极值↗显然a=-3,b=3不合题意，舍去.当a=4,b=-11时，f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或x=1.x1（1，+∞）+0-0+↗极大值↘极小值↗f(x)在x=1处有极小值10，合题意，∴a=4,b=-11.【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值.【答案】，令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根，∴，即∴①当时，（不符合题意）②当时，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，