10-4高中数学核动力

第10章第4节1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】∵对立事件的定义是其中必有一个发生的互斥事件，∴对立事件一定是互斥事件．而互斥事件可能是多个事件彼此互斥，其中的几个互斥事件不一定必有一个发生，∴互斥事件不一定是对立事件．【答案】B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8【解析】由对立事件的概率可求该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.【答案】B3．(2011·陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选这4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A.136B.19C.536D.16【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种，其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16.【答案】D4．(2013·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.【答案】235．盒中仅有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？【解】(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是49.(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此，它是必然事件，它的概率为1.课时作业【考点排查表】考查考点及角度难度及题号错题记录基础中档稍难事件的判断17随机事件的概率与频率29互斥事件、对立事件的概率3,45,8,106,11，12,13一、选择题1．从1,2,3…9中任取两数，其中：①恰有1个偶数和恰有1个奇数，②至少有1个奇数和2个都是奇数，③至少有1个奇数和2个都是偶数；在上述事件中是对立事件的是()A．①B．②C．③D．①③【解析】从1,2,3…9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数；由对立事件的性质知，只有③为对立事件，故选C.【答案】C2．下列叙述中事件的概率是0.5的是()A．抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率B．某地在8天内下雨4天，某地每天下雨的概率C．进行10000次抛掷硬币试验，出现5001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率【解析】在实际问题中，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计它的概率，在大量重复试验的前提下，频率可近似看作事件发生的概率．本题中只有选项C进行了大量重复试验，其余三个选项都是事件的频率，并非大量重复试验．【答案】C3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.45【解析】记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B、D、E的概率的和．P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.【答案】C4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．【答案】D5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是()A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输了的概率是23D．乙不输的概率是12【解析】“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－12－13＝16；设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23；乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为16；乙不输的概率为1－16＝56.【答案】A6．(2013·兰州模拟)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球【解析】对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．【答案】D二、填空题7．(1)某人投篮3次，其中投中4次是________事件；(2)抛掷一枚硬币，其落地时正面朝上是________事件；(3)三角形的内角和为180°是________事件．【解析】(1)共投篮3次，不可能投中4次；(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能；(3)三角形的内角和等于180°.【答案】(1)不可能(2)随机(3)必然8．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．【解析】设事件A、B、C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知A、B、C彼此互斥，P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.设事件D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.∴军火库爆炸的概率为0.225.【答案】0.2259．某家庭电话，打进电话响第1声时被接的概率是0.1，响第2声时被接的概率为0.2，响第3声时被接的概率是0.3，响第4声时被接的概率是0.3，则电话在响5声之前被接的概率为________．【解析】记“电话响第i声时被接”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，“电话响5声之前被接”为事件A，由于A1，A2，A3，A4互斥，所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.3＝0.9.【答案】0.9三、解答题10．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率．【解】设小明的数学考试成绩在90分及以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分分别为事件B，C，D，E，这4个事件是彼此互斥的．根据互斥事件的概率加法公式，小明的考试成绩在80分及以上的概率为P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率，即成绩在60分及以上的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.而小明考试不及格与小明考试及格是互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为1－P(B∪C∪D∪E)＝1－0.93＝0.07.11．(2013·温州模拟)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．【解】记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3A4＋B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.12．(文)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄绿、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A、B、C、D，则有P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，①P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，②P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23.③联立①②③求解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14、16、14.(理)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．(1)若n＝3，求取到的4个球至少有一个是白球的概率；(2)若“取到的4个球中至少有2个红球”的概率为34，求n.【解】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则P(A)＝C22C24·C22C25＝16·110＝160，而4个球至少有一个是白球的概率P＝1－P(A)＝1－160＝5960.(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意，得P(B)＝1－34＝14.P(B1)＝C12C12C24·C2nC2n＋2＋C22C24·C12C1nC2n＋2＝2n23n＋2n＋1；P(B2)＝C22C24·C2nC2n＋2＝nn－16n＋2n＋1；所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2n23n＋2n＋1＋nn－16n＋2n＋1＝14，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2或n＝－37(舍去)，故n＝2.四、选做题13．(文)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；(2)求他不乘轮船去开会的概率；(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？【解】(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的，故(P1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,