10-8离散型随机变量及其概率分布(理)精品解析及答案

10-8离散型随机变量及其概率分布(理)精品解析及答案1.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么()A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．n＝9[答案]C[解析]∵P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88[答案]D[解析]P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以：1的比分获胜的概率为()A.827B.6481C.49D.89[答案]A[解析]设甲胜为事件A，则P(A)＝23，P(A)＝13，∵甲以：1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P＝C23·(23)2·13·23＝827.4．(2011·岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A.35B.34C.12D.310[答案]C[解析]5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为12.5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝C27－xC27＝－x－x42，P(ξ＝1)＝C1x·C17－xC27＝x－x21，P(ξ＝2)＝C2xC27＝xx－42，∴0×－x6－x42＋1×x－x21＋2×xx－42＝67，∴x＝3.6．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.6C．0.65D．0.75[答案]D[解析]设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝PABPB＝0.60.8＝0.75.7．(2011·济南模拟)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于________．[答案]316[解析]P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.8．(2011·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替，x、y是0～9的自然数)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据x＝________，y＝________.[答案]2,5[解析]由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.9.(2011·湖南理，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.[答案](1)2π(2)14[解析]该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P(A)＝2π，P(A∩B)＝12π＝12π，P(B|A)＝PA∩BPA＝12π2π＝14.10．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．[解析](1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P＝C15C26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C23p2(1－p)＝3×(13)2×(23)＝29.(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝C22C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝620＝310，P(X＝6)＝C25C36＝1020＝12.所以，随机变量X的分布列为：X3456P1203203101211.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是()A.1220B.2755C.27220D.2155[答案]C[解析]P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.12．(2011·浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：ξ200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则期望利润是()A．706元B．690元C．754元D．720元[答案]B[解析]由题意，进这种鲜花500束，利润η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)＝3.5ξ－500而E(ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝690(元)．13．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E(X)＝()A.445B.8310C.72D.92[答案]D[解析]X的取值有：3、4、5，P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝35，∴E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝92.14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X的分布列．[解析](1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C410＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C28＝28，所以P(A)＝28210＝215.(2)根据题意可知X可能的取值是0,1,2,3,4.X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝1C410＝1210，X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝C34C16C410＝435，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝C24·C26C410＝37，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝C14·C36C410＝821，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝C46C410＝114.所以X的分布列为：X01234P12104353782111415.(2011·山东理，18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.[解析](1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF－，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DEF、DEF、DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.1．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A恰好发生一次的概率为()A.13B.23C.3281D.881[答案]C[解析]设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为Pk＝Ck4pk(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝C04p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p0＝6581，∴(1－p)4＝1681，∴1－p＝23，∴p＝13，∴p1＝C14p·(1－p)3＝4×13×233＝3281，故选C.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝－1第n次摸取红球1第n次摸取白球，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．C57132·235B．C27232·135C．C57132·235D．C37132·235[答案]B[分析]关键是弄清S7＝3的含义：S7＝a1＋a2＋…＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析]S7＝a1＋a2＋…＋a7＝3表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P1＝23，∴所求概率为P＝C27232·135.3．(2011·烟台模拟)随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(12X52)的值为()A.23B.34C.4