导数在研究函数中的应用同步练习1

§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号与函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则函数y＝f(x)这个区间上是增函数；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)0，则函数f(x)这个区间上是__________．2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．一、填空题1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．2．函数f(x)＝2x－lnx的单调增区间为________．3．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是________．(填序号)4．函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调增区间为__________．5．函数y＝ax－lnx在(12，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为__________．6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．7．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．8．使y＝sinx＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．二、解答题9．求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间．10．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升11．判断函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调性．12．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3导数在研究函数中的应用3．3.1单调性知识梳理1．f′(x)0减函数作业设计1．充分不必要解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1x1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．(12，＋∞)解析f′(x)＝2－1x＝2x－1x，∵x0，f′(x)＝2x－1x0，∴x12.3．①解析∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，∴函数图象关于y轴对称．由f′(0)＝1可排除③、④.而f′(1)＝cos1－sin10，从而观察图象即可得到答案为①.4.0，1a解析函数的定义域为{x|x0}，f′(x)＝1x－a，由f′(x)0，得1－axx0，∴ax－1ax0，∴x1a，故f(x)的单调增区间为0，1a.5．[2，＋∞)解析∵y′＝a－1x，∴在(12，＋∞)上y′≥0，即a－1x≥0，∴a≥1x.由x12得1x2，要使a≥1x恒成立，只需a≥2.6．(－1,11)解析∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11)．由f′(x)0，得－1x11，∴f(x)的单调减区间为(－1,11)．7．(－∞，－3]解析f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立⇔a0Δ≤0，即a036＋12a≤0，∴a≤－3.8．[1，＋∞)解析∵f′(x)＝cosx＋a≥0，∴a≥－cosx，又－1≤cosx≤1，∴a≥1.9．解由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)0，得x12，由f′(x)0，得0x12，∴函数f(x)＝2x2－lnx的单调增区间为12，＋∞，单调减区间为0，12.10．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．11．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋1x＋2ax＝2ax2＋a＋1x.①当a≥0时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1a0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a＋12a，则当x∈0，－a＋12a时，f′(x)0；当x∈－a＋12a，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1a0时，f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减．12．解(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．因为－1x1，所以3x23，所以只需a≥3.当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．