数学基础知识与典型例题第四章三角函数三角函数相关知识关系表角的概念1.①与(0°≤360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):Zkk,360|;②终边在x轴上的角的集合:Zkk,180|;③终边在y轴上的角的集合:Zkk,90180|;④终边在坐标轴上的角的集合:Zkk,90|.2.角度与弧度的互换关系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.3.弧度制下,扇形弧长公式12r,扇形面积公式211||22SRR,其中为弧所对圆心角的例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为(C)()2A()sin2B2()sin1C()2sin1D例2.已知为第三象限角,则2所在的象限是(D)(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限弧度数。三角函数的定义1.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点(,)Pxy(与原点不重合),记22||rOPxy,则sinyr,cosxr,tanyx,cotxy。注:⑴三角函数值只与角的终边的位置有关,由角的大小唯一确定⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:①诱导公式:②同角三角函数关系式:平方关系,商数关系.⑶重视用定义解题.⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆;;MPOMAT正弦线:余弦线:正切线:2.各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦例3.已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值.答案:由定义:5r,sin=53,cos=54,∴2sin+cos=52例4.若是第三象限角,且coscos22,则2是(B)()A第一象限角()B第二象限角()C第三象限角()D第四象限角解:∵(21)(21)2kk)(Zk,∴4322kk)(Zk,则2是第二或第四象限角,又∵coscos22,∴cos02,则2是第二或第三象限角,∴2必为第二象限角例5.若cos0,sin20,且则角的终边所在象限是(D)sinyrcosxrtanyx(纵坐标y的符号)(横坐标x的符号)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象三角函数公式三角函数的公式:(一)基本关系公式组一(kZ)sin(2)sin,cos(2)costan(2)tankxxkxxkxx公式组二sin()sintan()tancos()cosxxxxxx公式组四公式组五xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组六sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx(二)两角和与差公式公式组一sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(公式组二:cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan2cos12sin2cos12cos,1cossin1costan21cos1cossin公式组三1cos()sin2,1cos()sin2,例6.化简:440sin122221sin(36080)1sin80cos80cos80原式例7.已知tanα,tanβ是方程23340xx两根,且α,β)2,2(,则α+β等于(A)(A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例9.设)2,0(,若,53sin则)4cos(2=(B)(A)57(B)51(C)27(D)4例10.sin163sin223sin253sin313(B)1()2A1()2B3()2C3()2D例11.求下列各式的值:⑴75tan175tan1;⑵tan17+tan28+tan17tan28⑴原式=3(2)28tan17tan128tan17tan)2817tan(∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)1sin()cos21sin()cos2常用数据:30456090、、、的三角函数值62sin15cos754,42615cos75sin,=1tan17tan28∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1三角函数公式注:⑴以上公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.如tan()(1tantan)tantan221cos1coscos,sin2222等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备.⑶三角函数恒等变形的基本策略。常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项:222222sin2cos(sincos)cos1cosxxxxxx;配凑角(常用角变换):2()()、2()()、22、22、()等.③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=ab确定。例12.已知为锐角,且1tan2,求sin2cossinsin2cos2的值.解:∵1tan2为锐角,∴2cos52sin2cossinsin2cos2sin(2cos1)2sincoscos2152cos4例13.已知α为第二象限角,且sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值.三角函数公式解:2cos2cossin2)cos(sin2212cos2sin)4sin(.)cos(sincos4)cos(sin2当为第二象限角,且415sin时,41cos,0cossin,所以12cos2sin)4sin(=.2cos42例14.已知21)4tan(,(1)求tan的值;(2)求2cos1cos2sin2a的值奎屯新疆王新敞解(1):由21tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(,解得31tan(2)1cos21coscossin22cos1cos2sin22265213121tancos2cossin2例15.已知cos2sin,sin4cos5sin2cos⑴求的值;2sin2sincos⑵求的值.解:sin2cos,tan2∴⑴sin4costan4215sin2cos5tan2126⑵5614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222三角函数公式例16.已知45cossin,求sincos的值.解:∵1625)cos(sin2∴1625cossin21,329cossin例17.已知锐角,满足cos=53,cos(+)=135,求cos.解:∵cos=53,∴sin=54,又∵cos(+)=1350,∴+为钝角,∴sin(+)=1312,∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin=653354131253135(角变换技巧)例18.已知2,0,tan=31,tan=71,求2+.解:43tan1tan22tan2,∴1tan2tan1tan2tan)2tan(,又∵tan20,tan0,∴2223,02,∴22,∴2+=47例19.在△ABC中,已知cosA=135,sinB=53,则cosC的值为()(A)6516(B)6556(C)65566516或(D)6516解:∵C=(A+B),∴cosC=cos(A+B)又∵A(0,),∴sinA=1312而sinB=53,显然sinAsinB∴AB,即B必为锐角,∴cosB=54,∴cosC=cos(A+B)=sinAsinBcosAcosB=651654135531312例20.若关于x的方程2cos2(+x)sinx+a=0有实根,求实数a的取值范围。解:原方程变形为:2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0,∴817)41(sin22sinsin222xxxa,∵1≤sinx≤1,∴81741sinminax时,当;11sinmaxax时,当,∴a的取值范围是[1,817]三角函数三角函数的性质:sinyxcosyx定义域RR值域[1,1][1,1]周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性[2,2]22kk上为增函数;3[2,2]22kk上为减函数.(Zk)[21,2]kk上为增函数;[2,21]kk上为减函数.(Zk)三角tanyx定义域1|,2xxRxkkZ且值域R周期性奇偶性奇函数函数单调性kk2,2上为增函数(Zk)以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象...........函数sin()yAx的图像和性质以函数sinyx为基础,通过图像变换来把握.如①sinyx图例变化为②sin()yAx(A0,0)相应地,①的单调增区间2,222kk变为2222kxk≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(xy或cos()yx(0)的周期2T;⑵sin()yx的对称轴方程是2xk(Zk),对称中心(,0)k;cos()yx的对称轴方程是xk(Zk),对称中心1(,0)2k;)tan(xy的对称中心(0,2k).三角函数例21.下列函数中,既是(0,2)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是(B)(A)y=lgx2(B)y=|sinx|(C)y=cosx(D)y=x2si