形函数法

三、形函数法(2007-03-0615:29:49)转载形函数法是目前实体插值领域最重要的一种算法，是有限元分析的重要基础，同时也可应用于等高线的生成。形函数法就是如何根据线段、平面多边形、空间多面体等的节点上的已知值来建立求解线段、平面多边形、空间多面体等内部任意一点的值的插值函数。平面多边形中除了平面三角形之外，基本可以应用等参单元法来求取形函数表达式；但是空间体中基本只有8节点六面体以及其变体的形函数可以应用等参单元法。对于不可以应用等参单元求解形函数的平面多边形或空间多面体，基本可以采用面积法或体积法来推导插值形函数。一、面积、体积法求取形函数对于平面三角形和空间四面体等，基本采用面积或体积法来求出形函数。任取如下图平面三角形，节点逆时针分别为A（XA,YA）、B（XB,YB）、C（XC,YC），任意待求点为P（XP,YP），A、B、C点样本值分别为UA、UB、UC，待求P点的值为UP。图1面积法求三角形形函数图根据上图DABP、DBCP、DCAP的面积分别为T1、T2、T3，显然有下式成立：SDABC＝T1＋T2＋T3上式两边分别除以SDABC，则上式转化为：根据上式就可定义A点的相对面积变量sA如下：显然当P点与A点重合，此时sA＝1，当P点B、C点重合时，显然sA＝0。同样可以B、C点。因此三角形的形函数可以表示为：应用体积法同样可以求取空间四面体的插值形函数。下面给出其相应解。设空间四面体的4个节点分别为A（xA,yA,zA）、B（xB,yB,zB）、C（xC,yC,zC）、D（xD,yD,zD），任意待求点为P（xp,yp,zp），A、B、C、D点样本值分别为UA、UB、UC、UD，待求P点的值为UP。则空间四面体的形函数可以表示为：二、等参单元法的基本思路等参单元法是最广泛应用于有限元领域的一种数学方法，其目的就是如何根据线段、平面多边形、空间多面体等的节点上的值来建立求解线段、平面多边形、空间多面体等内部任意一点的值的插值函数。在等参单元法中通常要用到两种坐标系，即笛卡尔坐标系和自然坐标系。笛卡尔坐标系用x,y,z表示，自然坐标系用一组不超过1的无量纲参数r,s,t表示，边界点分别对应自然坐标等于1或－1的点。等参单元法的基本思想，就是将笛卡尔坐标系中不规矩的线段、平面多边形、空间多面体转换为标准的自然坐标系上线段、平面多边形、空间多面体，首先在自然坐标系建立插值方程，进而实现在笛卡尔坐标系中的插值方程。三、一维等参单元法分析用线段可以基本反映等参单元法的分析过程。在笛卡尔坐标系中，用表示线段内任意一点P的坐标，线段两端点的坐标为x1、x2，用矢量表示为。则P点的自然坐标定义为P点到线段中点距离（代数值）与线段半长度之比，见下式：显然-1SPAN，，而线段两端点x1相对自然坐标－1，x2相对自然坐标＋1。它们之间的关系见下图：图2笛卡尔坐标系与自然坐标系关系图求解上式的反函数，就可以得到的表达式为：上式就是根据线段两端点进行内插的插值方程。分别记：于是插值方程可以表达为：上式建立了笛卡尔坐标系与自然坐标系之间的转换关系。同样可以分析带有三节点的曲线段，两端点分别记为x1,x2，且x1相对自然坐标－1，x2相对自然坐标＋，中间点记为x3，根据以上方法同样可以求出三节点曲线段相对于自然坐标系的插值方程如下：四、二、三维等参单元法分析常见的需要建立内插形函数的单元体有各种各样的形式，下图显示了一部分，事实上不管是平面问题还是三维问题，还存其它各种各样的模式。图3形函数单元体示意图一维等参单元的插值方法同样可以推广到二、三维。在二维单参单元常见的基本类型是四节点四边形等参单元（B），B1、B2、B3、B4分别为常用的四节点四边形的变体。在三维等参单元常见的基本类型是8节点六面体等参单元（D），D1为其变体，见上图。下面分别给出平面四节点四边形单元（B）、平面八节点四边形单元（B4）、空间八节点六面体（D）的插值函数表达式。1、平面四节点四边形单元（B）设平面四节点四边形单元（B）的四个角点分别为1、2、3、4，且右上角点为1，呈逆时针排列，二维自然坐标为，则可以得到如下形式的形函数解：2、平面八节点四边形单元（B4）设平面八节点四边形单元（B4）的四个角点分别为1、2、3、4，且右上角点为1，呈逆时针排列，5、6、7、8点分别位于角点1与2、2与3、3与4，以及4与1之间的点，二维自然坐标为，则可以得到如下形式的形函数解：3、空间八节点六面体（D）设空间八节点六面体（D）的八个角点分别为1、2、3、4、5、6、7、8，三维自然坐标为，它们的自然坐标分别为(1,1,1)、(-1,1,1)、(-1,-1,1)、(1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,1,-1)、(-1,-1,-1)、(1,-1,-1)，则可以得到如下形式的形函数解：五、形函数与泛权算法的关系可以证明事实上形函数法是泛权算法的一种特例，事实上应用泛权算法针对任何一个单元体均可以得到各种各样的形函数。应该说形函数是泛权理论中两种经典表达式中的一种。应用泛权思想，现有形函数方法还可以得到进一步的改进。六、形函数在等高线分析中的应用平面三角形和四边形的形函数均可以应用在DEM中，应用三角形节点、四边形节点来生成等高线，而且这个等高线解是一个显性的数学表达式解。