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第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理[学习目标]1.了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理(重点).2.了解合情推理在数学发现中的作用(难点)．1．归纳推理和类比推理类别归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理(简称类比)温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧重点不同，结论也会不同．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.()(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()解析：(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论不一定正确．(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．答案：(1)√(2)×(3)√2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．答案：A3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可推知扇形面积等于()A.r22B.l22C.lr2D.l＋r2解析：三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长，所以可猜测为S＝12rl＝lr2.答案：C4．等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)5．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为________．解析：等式的左边为首项n，公差为1，项数为2n－1的等差数列的和，又右边分别为12，32，52，72，…，(2n－1)2，故第n行为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2类型1数、式中的归纳推理(自主研析)[典例1](1)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．(2)已知数列{an}对一切的n∈N*，an0，设前n项和为Sn，且2Sn＝an＋1，则通过前几项猜想出数列的通项公式为an＝________．[自主解答](1)左边为n项的乘积；等号右边为两部分：一部分为2n，另一部分为n个连续奇数的乘积．∴第n个等式为(n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)．(2)因为2Sn＝an＋1，所以2S1＝a1＋1，即2a1＝a1＋1，所以a1＝1.又2S2＝a2＋1，所以2a1＋a2＝a2＋1，所以a22－2a2－3＝0.因为对一切的n∈N*，an0，所以a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜测出an＝2n－1(n∈N*)．答案：(1)(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(2)2n－1.归纳升华1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式或前n项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．2．由已知数、式进行归纳推理的基本方法：(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(3)运用归纳推理得出一般结论．[变式训练]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋2an，n∈N*，试猜想这个数列的通项公式，并用数列知识进行检验．解：因为a1＝1，an＋1＝an1＋2an，所以a2＝a11＋2a1＝13，a3＝15，a4＝17，…，猜想这个数列的通项公式an＝12n－1.检验：由an＋1＝an1＋2an，得1an＋1＝1＋2anan＝1an＋2，即1an＋1－1an＝2，所以数列1an是首项为1a1＝1，公差为2的等差数列，则1an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以an＝12n－1.猜想正确．类型2几何图形中的归纳推理[典例2]有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36解析：法一：有菱形纹的正六边形个数如表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.答案：B[变式训练]图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，第3层，…，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：图①图②图③(1)按要求填表：n1234…Sn136…(2)Sn＝________．解析：第1层的小正方体有1个；第2层的小正方体有3个，即(1＋2)个；第3层的小正方体有6个，即(1＋2＋3)个；第4层的小正方体有10个，即(1＋2＋3＋4)个；….由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n.所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2(n∈N*)．答案：(1)10(2)n（n＋1）2(n∈N*)类型3类比推理及其应用(互动探究)[典例3]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解：类比直角三角形的勾股定理，在四面体DPEF中，DP、DE、DF两两垂直，即∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．[迁移探究1](变换条件)把题设条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，三棱锥PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.[迁移探究2](变换条件)如图，作CD⊥AB于D，则有1CD2＝1a2＋1b2.类比该性质，试给出空间中四面体性质的猜想(不证明)．解：如图在四面体ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，且AE⊥底面BCD.相应于斜边AB上的高CD，AE是以△BCD为底面的棱锥的高．于是猜想1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.归纳升华1．类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．2．类比推理的一般步骤．1．对归纳推理的理解：(1)归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性的判断，从而归纳推理是一种由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理．因此，归纳推理要在观察和试验的基础上进行．其基本过程如下：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论2．类比推理的三个特点：(1)类比推理结论的猜测性，类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比在数学发现中具有重要作用．例如，通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研究的问题及其研究方法．(3)类比推理的关键点．由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征．3．归纳与类比推理的结论不一定可靠，还需要经过逻辑证明和实践检验．但它们是创造性的推理，通过归纳类比能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．