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１１ 相交线与平行线５．１ 相交线５．１．１ 相交线１有一个公共顶点和一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫 邻补角 ．２有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为 对顶角 ．３对顶角性质:对顶角 相等 ．１下列说法正确的是(D)A大小相等的两个角互为对顶角B有公共顶点且相等的两个角是对顶角C两直线相交所成的角互为对顶角D两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角互为对顶角２下列选项中,∠１与∠２互为对顶角的是(D)３如图所示,∠１与∠２互为邻补角的是(D)４如图,直线AB和CD相交于点O,OE是射线,则:(１)∠１的对顶角是 ∠２ ,∠１的邻补角是 ∠５与∠AOD ．(２)∠５的对顶角是 ∠AOD ,∠３的邻补角是 ∠BOE ．第４题图 第５题图 第６题图５如图,O为直线AB上一点,∠COB＝２６°３０′,则∠１＝ １５３°３０′ ．６如图,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC＝１００°,则∠BOD的度数是 ５０° ．７如图,直线AB、CD相交于点O,若∠AOC＝(３x＋１０)°,∠BOC＝(２x－１０)°,求∠AOD的度数．第７题图解：由∠AOC＋∠BOC＝１８０°，得（３x＋１０）＋（２x－１０）＝１８０，解得x＝３６．则∠AOD＝∠BOC＝６２°． 如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,且∠COE＝１２０°,求∠BOC的度数．分析:仔细观察图形,寻找图中的对顶角和邻补角,并利用其性质找到已知角和未知角之间的关系,使问题得以解决．解:∵∠COE＋∠DOE＝１８０°(邻补角的定义),∴∠DOE＝１８０°－∠COE＝１８０°－１２０°＝６０°．∵OE平分∠AOD,∴∠AOD＝２∠DOE＝２×６０°＝１２０°(角平分线的定义),∴∠BOC＝∠AOD＝１２０°(对顶角相等)．１邻补角与对顶角都是成对出现,都是研究两个角之间的位置关系和数量关系,对顶角形成的前提是相交线．２在解决与相交线有关的角度计算时,通常利用对顶角、邻补角的性质把所求的角与已知角联系起来．忽视对顶角的两个要素出错． 下列说法中,正确的是( )A有一条公共边的两个角是邻补角B一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角C有公共顶点的两个角是对顶角D相等的两个角是对顶角学生解答:B２２ ８如图,已知∠１＝∠２,下列结论:①∠３＝∠４;②∠３与∠５互补;③∠１＝∠４;④∠３＝∠２,正确的有(A)A４个B３个C２个D１个第８题图 第９题图 第１０题图９如图,三条直线AB、CD、EF相交于同一点O,若∠AOE＝２∠AOC,∠COF比∠AOE大３０°,则∠AOC的度数是(A)A３０°B６０°C２０°D４５°１０如图,三条直线相交于点O,则∠１＋∠２＋∠３等于(C)A９０°B１２０°C１８０°D３６０°１１如图,O是直线l上一点,∠AOB＝１００°,则∠１＋∠２＝ ８０° ．第１１题图 第１２题图１２如图,直线AB、CD相交于点O,若∠BOD＝４０°,OA平分∠COE,则∠AOE＝ ４０° ．１３如图,直线AB、CD、EF相交于点O．(１)试写出∠AOC,∠AOE,∠EOC的对顶角;(２)试写出∠AOC,∠AOE,∠EOC的邻补角;(３)若∠AOC＝５０°,求∠BOD,∠BOC的度数．第１３题图解：（１）∠BOD，∠BOF，∠FOD（２）∠AOD和∠BOC，∠AOF和∠BOE，∠EOD和∠COF．（３）∠BOD＝５０°，∠BOC＝１３０°．第１４题图１４如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠ADB的大小,但人又不能进入围墙,只能站在墙外,如何测量?(请用两种不同的方法)．解：（１）方法一：延长AD与BD，测量∠ADB的对顶角即可；方法二：延长AD至E，测量∠BDE，由∠BDE与∠ADB为邻补角可求．１５如图,直线AB与CD交于点O,OE平分∠DOB,∠３∶∠１＝８∶１,求∠４的度数．第１５题图解：∵OE平分∠DOB，∴∠１＝∠２，设∠１＝∠２＝x°，则∠３＝８x°．而∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，∴x＋x＋８x＝１８０，∴x＝１８，∴∠BOD＝１８°＋１８°＝３６°．∴∠４＝∠BOD＝３６°．１６观察下列图形,寻找对顶角(不含平角)和邻补角．(１)两条直线相交(如图１),图中共有 ２ 对对顶角, ４ 对邻补角;(２)三条直线相交于一点(如图２),图中共有 ６ 对对顶角, １２ 对邻补角;(３)四条直线相交于一点(如图３),图中共有 １２ 对对顶角, ２４ 对邻补角;(４)n条直线相交于一点,则可构成 n（n－１） 对对顶角, ２n（n－１） 对邻补角;(５)２０１６条直线相交于一点,则可构成 ４０６２２４０ 对对顶角, ８１２４４８０ 对邻补角．３３ ５．１．２ 垂线第１课时 垂线１垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个是 直角 时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ,它们的交点叫做 垂足 ．２在同一平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直．第３题图３如图所示．(１)因为∠AOD＝ ９０° ,所以 AB⊥CD (垂直定义)．(２)因为AB⊥CD,所以∠AOD＝ ９０° (垂直定义)．１如图,斜靠在墙上的木条上面用绳子挂一块砖,那么这根绳子CD与(A)A水平线OB垂直B木条OA垂直C砖头的一条棱EF垂直D以上都不对第１题图 第３题图２下列条件中,两条直线的位置关系是互相垂直的有(D)①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角 ②两条直线相交,有一组邻补角相等 ③两条直线相交,对顶角互补A０个B１个C２个D３个３如图,OA⊥OB,若∠１＝５５°,则∠２的度数是(A)A３５°B４０°C４５°D６０°４如图,直线AB、CD相交于点O,OE为射线,若∠１＝３０°,∠２＝１２０°,则OE与AB的位置关系是 垂直 ,可记作 OE⊥AB ．第４题图 第５题图 第６题图５如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,如果∠EOD＝４２°,则∠AOC＝ ４８° ．６将两块相同的直角三角尺的顶点重合为如图所示的位置,若∠AOB＝１０５°,则∠COD＝ ７５° ．７如图,分别过点P作直线AB的垂线．解：如图所示． 如图,已知直线AB、CD交于点O,射线OE⊥AB于O,射线OF⊥CD于O．且∠BOF＝３５°,求∠AOC和∠EOD的度数．分析:已知∠BOF＝３５°,OF⊥CD,可求出∠BOD的度数．再由对顶角性质求∠AOC,又由OE⊥AB,可求∠COE的大小．再由∠EOD与∠COE互为邻补角,可求∠EOD的大小．解:∵OF⊥CD,∴∠FOD＝９０°,即∠BOF＋∠DOB＝９０°,又∠BOF＝３５°,∴∠DOB＝５５°,又∠AOC＝∠DOB,∴∠AOC＝５５°,又OE⊥AB,∴∠COE＝９０°－∠AOC＝３５°,∴∠EOD＝１８０°－∠COE＝１４５°,∴∠AOC＝５５°,∠EOD＝１４５°．１画垂线,要认清过哪个点与哪条直线垂直,画时要遵循“一靠二落三画”．２解有关垂直的计算问题．一方面要“数形结合”,另一方面充分用垂直得直角这一特征．３垂直是相交的一种特殊情形,由垂直可得到９０°的角,反之由９０°的角可得到垂直,也就是说垂直的定义既可作“性质”用又可作“判定”用．理解垂线性质出错． 下列说法中不正确的是( )A一条直线有无数条垂线B一条直线只有一条垂线C过一点可画平面内多条直线的垂线D过直线外一点画直线的垂线,垂足一定在直线上学生解答:B画图考虑不周出错． 在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC、OD,使OC⊥OD,当∠AOC＝３０°时,则∠BOD＝．学生解答:６０°或１２０°４４ ８在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为(D)A１个B２个C３个D４个９如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠１＝１５°３１′,则下列结论中不正确的是(D)A∠２＝４５°B∠１＝∠３C∠AOD与∠１互为补角D∠１的余角等于７５°３０′第９题图 第１０题图１０如图,如果直线ON⊥a,直线OM⊥a,那么OM与ON重合,其理由是(C)A两点确定一条直线B过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D两点之间线段最短１１如图,当∠１与∠２满足条件 ∠１＋∠２＝９０° 时,OA⊥OB．第１１题图 第１２题图１２如图,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD＝２∠AOC,则∠BOD＝ ６０° ．１３如图,AO⊥BO,CO⊥DO,∠AOD＝４∠BOC,求钝角∠AOD的度数．第１３题图解：∠AOD＝１４４°１４著名的比萨斜塔始建于１２世纪,从建立之日起就一直倾斜着,它与地面所成的角中较小的角曾经达到８５°．(１)它与地面所成的较大的角是多少度?你的依据是什么?(２)它相比其它建筑倾斜了多少度?第１４题图解：（１）９５°，邻补角的和是１８０°（２）５°１５如图,O为直线AB上一点,∠AOC＝１３∠BOC,OC是∠AOD的平分线．(１)求∠COD的度数;(２)判断OD与AB的位置关系,并说明理由．第１５题图解：（１）∠COD＝４５°；（２）OD⊥AB，理由如下，∵OC平分∠AOD，∴设∠AOC＝∠COD＝x°，而∠AOC＝１３∠BOC，∴∠BOC＝３∠AOC＝３x°，∵∠AOC＋∠BOC＝１８０°，∴x＋３x＝１８０，∴x＝４５，∴∠AOD＝９０°．即OD⊥AB．１６如图,P为∠BAC内一点,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,连接EF,并延长至D,若∠１＝∠２,判断∠PFE与∠PEF的大小关系,并说明理由．第１６题图解：∵PE⊥AC，PF⊥AB，∴∠AFP＝∠AEP＝９０°，∴∠PFE＋∠３＝∠PEF＋∠２＝９０°．而∠１＝∠３，∠１＝∠２，∴∠２＝∠３，∴∠PFE＝∠PEF．５５ 第２课时 垂线段１连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段 最短．简单说成: 垂线段最短 ．第３题图２直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ,叫做点到直线的距离．３如图,PO⊥OR,OQ⊥PR,能表示点到直线的距离的线段有 ５ 条．１下列说法错误的是(D)A在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线B在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线C在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线D在同一平面内,有且只有一条直线