4.2 函数的凸性与拐点(1-15)

§4.2函数的凸性与拐点xyoxyoxyoxyoabababab(1)单调增(2)单调增(3)单调减(4)单调减xx221221xx)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy22112xxxx22112xxxx前面我们研究了单调性,然而我们注意到仅知道单调性对了解函数的性态是不够的1x2xx12x(2)若总有则称f(x)在[a,b]上是凹函数)()()(212121212xfxfxxf说明:(1)图(1)、(3)所表示的函数是凸函数两个不同的点x1,x2，)()()(212121212xfxfxxf则称f(x)在[a,b]上是凸函数;(1)若总有设y=f(x)在[a,b]上有定义,对于[a,b]上任意定义(2)图(2)、(4)所表示的函数是凹函数(3)凹凸函数的另一重要特征:凹函数xyoab凸函数的切线斜率f(x)单调增加凹函数的切线斜率f(x)单调减少凸函数xyoab定理(一阶充分条件)若f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(x)在(a,b)内单调增加(或减少),则f(x)在[a,b]是凸函数(凹函数)任取x1,x2[a,b],x1x2,xxxxf0112112,)()(')()(')()(02202xxfxfxfxxxxf2201222,)()(')()(')()(01101xxfxfxf相加得))]((')('[)()()(1212021212xxffxfxfxf由于f(x)单调增,21,知f(2)f(1)02021xfxfxf)()()()]()([)(2121212xfxfxxf利用拉格朗日中值定理有证明:2210xxx记判断f(x)单调性可用f(x)的符号定理(二阶充分条件)(1)可放宽成f(x)0及f(x)=0的点不形成区间说明:(2)当f(x)二阶可导时,f(x)0也是f(x)在[a,b]上是凸函数的必要条件设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内有二阶导数,则(2)如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)是[a,b]上的(1)如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)是[a,b]上的凹函数凸函数定理(凸或凹函数的必要条件）设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内有二阶导数,且0)(x''f(或0)f(x)是[a,b]上的凸(或凹)函数,则在(a,b)内恒有证明见教材解Rxxxxf,)('2364当x(,0)时,f(x)0f(x)是凸的Rxxxxxxf)()(''11212122当x(0,1)时,f(x)0f(x)是凹的当x(1,+∞)时,f(x)0f(x)是凸的例(划分凹凸区间)1234xxxf)(讨论的凹凸区间f(x)有两个零点x1=0,x2=1,并将定义域分成三个子区间凸函数的性质:利用泰勒公式,有200002)(!)(''))((')()(xxfxxxfxfxfxyox0凸函数其中介于x0与x之间可知))((')()(000xxxfxfxf设f(x)是[a,b]上二阶可导的函数,x,x0是))((')()(000xxxfxfxf[a,b]上的任意两点,则性质1证明:由于f()0,不妨设x1x2,令x0=1x1+2x2,利用性质1,有))((')()(01001xxxfxfxf))((')()(02002xxxfxfxf性质2(杰森不等式)设f(x)是[a,b]上二阶可导)()()(22112211xfxfxxf的凸函数,则对[a,b]内任意两点x1、x2,以及任意两个正数1、2,1+2=1,则有证明则x0(x1,x2),)())((')(00221100xfxxxxfxf即)()()(22112211xfxfxxf杰森不等式的几何意义:xyox1x0x2xyox1x0x2凸函数)(xfy对于二阶可导的凹函数,性质1和性质2中的不等式反号说明:)(xfy凹函数))((')()()(010102211xxxfxfxfxf))(('0202xxxff(x)在R上是凸函数,据杰森不等式有)()()(yfxfyxf21212121)()(yxyxeee2121即有(3)若在[a,b]上f(x)0,则性质1和性质2中的不等式当xx0和x1x2时为严格不等式.解设,exfx)(0xex'f')(则证明:对任意实数xy,例)()(yxyxeee2121有xyoax0b)(yxfN一般来讲,y=f(x)不一定在整个区间[a,b]上是凸的(或凹的),如图所示,但在某一部分区间上它确是凸的(或凹的),函数是凸的.但在[a,x0]上函数是凹的,在[x0,b]上拐点:若连续曲线y=f(x)在x0(也称为函数y=f(x)的拐点)的近旁发生凹凸性的改变,则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点不是凹函数.在[a,b]上,y=f(x)既不是凸函数,也发生变化的点N就有特殊的重要性为了描述函数的变化,在其两侧凹凸性问题:如何计算拐点?定理(二阶可微函数拐点的必要条件)(1)满足f(x0)=0的点(x0,f(x0))不一定是拐点例如4xxf)(00)(''f))(,(00f不是拐点(2)拐点也可能在二阶不可微点处出现例如31xxf)(当x0时,凸;当x0时,凹设y=f(x)在x0的某领域N(x0)上有二阶导数,如果(x0,f(x0))是拐点f(x0)=0说明:定理(拐点的必要条件）拐点只可能是使二阶导数为零的点或者二阶不可微点定理(拐点的充分条件）58535154xxy函数在R上连续，且当x0时，是y=f(x)的拐点设函数f(x)在x0的某个邻域N(x0)内有二阶导数(x0处可以二阶不可导但f(x)在x0处连续),如果在x0的两侧f(x)变号,则点(x0,f(x0))解求曲线的拐点58535154xxy例11252457xxy''当x(，0)时，f(x)0当x(0,1)时，f(x)0当x(1,+)时，f(x)0所以曲线有两个拐点:P1(0,0)和P2(1,1)可知x=1是使得y(1)=0的点,且x=0是二阶不可导的点.又因f(x)是凸函数;f(x)是凹函数;f(x)是凸函数