关于进一步加强公路水运工程工地试验室管理工作的意见

4-2根轨迹法的基本法则法则1根轨迹的起点、终点法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性法则3根轨迹在实轴上的分布法则4根轨迹的渐近线法则5根轨迹的分离点和分离角法则6根轨迹的起始角和终止角法则7根轨迹与虚轴的交点算例法则8根之和根轨迹终点在K=∞处根轨迹起始于开环极点Pi根轨迹终止在开环零点Zjmmnj=1*n*j=1i=1i=1()1=()()0()jjiiszKszspKspmmnj=1n**j=1i=1i=1()11=()()0()jjiiszszspKKsp**00KK从变化，根轨迹起点在处。法则一根轨迹的起点、终点n条轨迹从开环极点出发，只能有m条终止在开环零点,另外n-m条应终止何处？余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处把无穷远处看作有限零点，开环零点数和开环极点数相等*=1=1(-)limlim(-)ninmimssjjspKssz根轨迹的分支数等于开环有限极点数n和有限零点数m中较大者，即根轨迹的分支数＝闭环特征根数，它们是连续的且对称于实轴。*11()()0nmijijspKsz根轨迹是上述方程的根随某参数变化而生成的运动轨迹得到下述结论法则二根轨迹的分支数、对称性和连续性(21)1800121akknmnm；，，，，mnzpmjjniia11＝当系统nm时，有(n－m)条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处。(s很大时的根轨迹）渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点法则三根轨迹的渐近线mnka180)12(mnzpmjjniia11＝说明(1)()aaknm当取不同的值时，有个值，不变。(2)()aasnm根轨迹在时的渐近线为条射线,其与实轴交点为，夹角为。已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。2(1)()(4)(22)KsGsssss四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1共有四条根轨迹，渐近线与实轴交点：3514)1()4()1()1()0(11jjmnzpmjjniia＝渐近线与实轴正方向的夹角：mnka180)12(300180600、、a根轨迹的渐近线例一实轴上的根轨迹为0→－1,－4→－∞平面s4351j1j，试绘制根轨迹例：已知)2)(1()()(*sssKsHsG规则三实轴上的根轨迹规则二根轨迹起始于开环极点规则四、五渐进线与实轴的夹角、交点0→－1,－2→－∞解：根据规则60o-60o-180os∞s∞s∞三条渐进线如图(21)18060,180,3000,1,2n-mkka，取103)0()210(11mnzpmjjniiaj0k1=0-2-1k1=0k1=0。，，210321ppp根轨迹的渐近线例二11(-)-(-)mnjijiszspk(21)例如，某系统开环零极点分布如图。现在要判断实轴上的某点Sa是不是根轨迹上的点.由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：各开环零、极点的幅角：实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180°。零、极点在实轴上试验点左边其幅角为零；共轭零、极点的幅角其和为零；P10jZ2Z1P5P4P3P2Sa观察左边等式有如下结论：要判断实轴上的某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件12(00a2aaas-zs-ps-ps-p512)()()()134(180180180aaas-zs-ps-p)()()如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。法则四根轨迹在实轴上的分布已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22(1)(4)(6)()(2)(3)KsssGssss[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。64321j平面s表示两重极点0分离点(或会合点)：根轨迹在s平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为闭环特征方程的重根点。4/1'KK2/121ss分离点的特性：分离点必然是位于实轴，或共轭形式出现在复平面。实轴上，两相邻极点或零点之间至少存在一个分离点（包括无限零点或极点）。法则五根轨迹的分离点与分离角2、分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）lkb)12(niibmjjbpz11111、分离点b坐标值由分式方程解出112G()()(2.73)(22)KKsHsssss综合举例：求以为参变量的系统根轨迹解：原式化为零极点形式)1)(1)(73.2()()(G1jsjsssKsHs1、根轨迹起点：0，-2.73，-1j2、实轴上根轨迹：0-2.73由特征方程为：046.546.773.41234Kssss0)40.59.142.144(231sssdsdK4、分离点：求出重根为：s1、2=-2.07135,45180)12(mnka11(02.7311)01.1840nmijijapzjjnm分离点-2.073、渐进线：手算可用试探法，由上图，分离点在-1.18和-2.73之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合“实轴上根轨迹”的判断规则就要舍去-1.18j-jP2-10j-2.73P1P4P3复数极点附近根轨迹形态怎样？在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。34k12----(21)180为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨迹上，则它应满足幅角条件：。点的出射角可以知道根据根轨迹的对称性，44P前提：Sa无限靠近P3法则六根轨迹的起始角与终止角j-jP2-10j-2.73P1P31432sa4P11()()(21)mnjijiszspk起始角p:从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)11(21)()()012imnpijijjjjikpzppk＝＋，，，终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0～360°)11(21)-()()012imnzijijjijikzzzpk＝，，，)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()()('jsjsssjsjssKsHsG四条分支起始点p1＝0、p2、3＝-0.5±j1.5、p4＝―2.5终止点z1＝－1.5、z2，3＝－2±j、－∞实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹2212223212324(21)()()()()()()(21)56.51959108.59037pkpzpzpzppppppk＋792p＝取k＝0p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。793p＝－281793603p＝－＝或2212223242123(21)()()()()()()(21)15319912163.511790zkzpzpzpzpzzzzk＋5.1493z＝5.1492z＝取k＝-1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。2z根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于临界稳定状态。2）代数法Re1()()0Im1()()0GjHjGjHj1()()0sjwGjHj代入特征方程**KKw1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值，由求出相对应的频率；*wK联立求解，得到根轨迹和虚轴的交点和相应的临界。法则七根轨迹与虚轴的交点例：系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点。)2)(1()()('sssKsHsG闭环特征方程023)2)(1('23'KsssKsss0123ssss'3'631kk0'2k阵列中s2行元素构成辅助方程0632s2js根轨迹与虚轴的交点6KK系统稳定的的临界＝系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。)2)(1()()('sssKsHsGjs代入系统闭环特征方程0)2()3()(2)(3)(32''23jKKjjj032'＝K023＝26'K闭环特征方程023)2)(1('23'KsssKsss系统闭环特征多项式*12121111()()()nmnnnnijinnijispKszsssasasasa11asniinnniias)1(1闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：*11()2nniiiinmKsp时，根之和与根轨迹增益无关,是个常数，且有。*K根之和不变增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会有相应的另外一些根轨迹分支向右移动。法则八闭环特征方程根之和与根之积（1）根轨迹分支数据开环分母最高阶，闭环根轨迹有四个分支（2）根轨迹的起点和终点开环极点1234042424pppjpj，，，这些开环极点是闭环根轨迹各分支的起始，各分支的终点在无穷远处。（3）与实轴的交点确定实轴上的根轨迹，本题为]0,4[例概略绘出下列开环传递函数的闭环系统根轨迹图)204)(4()()(2ssssKsHsG（4）渐近线311mnzpnjiniia315,225,135,45)1,2,1,0()12(mnkmnka与实轴的交点与实轴的交角本题中有n=4，m=0,故有4条渐进线（5）根轨迹分离点niimjjpdzd1111111111042424niidpdddjdj求得d=-2,-2.0000+2.4495i,-2.0000-2.4495i（6）根轨迹分离角据(21)klpg+=(21)3,222kpppg+==（7）根轨迹起始角11180()mnpizjipjijjjipp据对于极点（-2+j4）而言，起始角为(21)(atan(2))atan(2)90270k180对于极点（-2-j4）而言，起始角为270(8)根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为2*432()(4)(420)83680DsssssKssssK*=++++=++++应用劳斯判据，4s3s2s1s0s36K8806K(20808)/26K*-K令＝(20808)/260K*-260K*=根据行的系数，得如下辅助方程2s2*260sK+=16.3求出交点坐标)22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG根轨迹增益K’=3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹。根轨迹有三条渐近线（n-m＝3），与实轴的倾角为(21)1803ak取k＝0、1＋60°、－60°、＋180°渐近线与实轴交点坐标为(0311)(2)141ajj