4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算考试说明内容知识要求了解(A)理解(B)掌握(C)平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐标表示√用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算√用坐标表示平面向量共线的条件√三年考题13年(3考)：陕西T2广东T10北京T1412年(2考)：浙江T15天津T811年(3考)：广东T3山东T12湖南T13考情播报1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示是近几年高考的重要考向2.题型以选择题、填空题为主,属于中、低档题【知识梳理】1.平面向量基本定理(1)基底:平面内_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.不共线λ1e1+λ2e22.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.(x,y)3.平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=____________,a-b=____________向量的数乘设a=(x,y),λ∈R,则λa=__________向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=____________向量共线的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔__________(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)ABx1y2-x2y1=0【考点自测】1.(思考)给出下列命题:()①平面内的任何两个向量都可以作为一组基底;②在△ABC中,向量的夹角为∠ABC;③同一向量在不同基底下的表示是相同的;④设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④AB,BC【解析】选D.平面内不共线的两个向量可以组成一组基底,平面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,故①③不正确;向量是有方向的,故在△ABC中,的夹角应是∠ABC的补角,故②不正确;根据平面向量基本定理,同一向量在基底a,b下的表现形式是唯一的,故④正确.ABBC与2.已知A(x,1),B(2,y),=(3,4),则x+y=()A.3B.-3C.4D.-4【解析】选C.由题意,得所以x+y=4.AB2x3,x1,y14y5.解得，3.(2014·宜昌模拟)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b【解析】选B.设c=xa+yb，则故c=3a-b.xy4x3xy2y1－＝，＝，所以＋＝，＝－，4.下列各组向量中,能作为基底的是()①a=(1,2),b=(2,4);②a=(1,1),b=(-1,-1);③a=(2,-3),b=(-3,2);④a=(5,6),b=(7,8).A.①②B.②③C.③④D.②④【解析】选C.对于①,显然b=2a,对于②,b=-a,故①②不能作为基底;对于③,因为2×2-(-3)×(-3)≠0,所以a,b不共线,故③能作为基底;对于④,因为5×8-6×7≠0,所以a,b不共线,故④能作为基底.综上应选C.5.(2014·张家界模拟)在□ABCD中，AC为一条对角线，则向量的坐标为________.【解析】设所以(1，3)=(2，4)+(x,y)，所以所以(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5).答案：(-3，-5)AB24AC13，，，，BDADx,y,ACABAD,因为12x,x1,AD1134y,y1,即所以，，BDADAB6.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则实数m＝________.【解析】a＋b＝(1，m－1)．因为(a＋b)∥c，所以2－(－1)(m－1)＝0，所以m＝－1.答案：－1考点1平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)(2014·临沂模拟)若a与b不共线，已知下列各组向量①a与-2b;②a+b与a-b;③a+b与a+2b;④其中可以作为基底的是_________(只填序号即可).111.224与abab(2)(2014·郑州模拟)如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设①用a和b表示向量②若求实数λ的值.OBOA,OB.abOCDC，；OEOA,【解题视点】(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断.(2)①由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解;②由平面向量基本定理及共线向量定理求解.【规范解答】(1)因为a与b不共线，所以，对于①，显然a与-2b不共线；对于②，假设a+b与a-b共线，则存在实数λ,使a+b=λ(a-b),则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛盾，故假设不成立，即a+b与a-b不共线；同理，对于③，a+b与a+2b也不共线；对于④，共线.由基向量的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以.答案：①②③11111112422224()，故与abababab(2)①由题意知,A是BC的中点，且由平行四边形法则，得所以②由题意知，故设2ODOB3，OBOC2OA，OC2OAOB2,ab25DCOCOD22.33abbabECDC，ECxDC.因为所以因为a与b不共线，由平面向量基本定理，ECOCOE2aba52,DC2,3abab52x2.3()abab322x,x,45.5451x,.35得解得故【互动探究】本例(1)中，若将条件a与b不共线省去，则情况如何？【解析】若a与b共线，不妨令a≠0,b=0,则所给4组向量都共线，故4组向量都不能作为基底.【规律方法】1.构成平面向量的一组基底的条件(1)一组基底有两个向量.(2)这两个向量不共线(其中没有零向量).2.应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.【变式训练】（2014·三明模拟）如图，平面内有三个向量其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且若(λ，μ∈R)，则()A.λ=4，μ=2B.λ=，μ=C.λ=2，μ=D.λ=，μ=OAOBOC，，，OAOBOAOC3OA2OB2，，OC23，OCOAOB8332433243【解析】选C.过点C分别作OA，OB的平行线，分别交OB，OA的延长线于B1，A1，则∠B1OC=120°-30°=90°，故OB1⊥OC.在Rt△B1OC中，∠B1CO=30°，又故因此故因此λ=2，μ=.OC23，1OB23tan302，11BC2OB4，1114OBOBOABC2OA3，，114OCOAOB2OAOB3，43【加固训练】1.下列各组向量：①e1=(-1,2)，e2=(5,7)；②e1=(3,5),e2=(6,10)；③e1=(2,-3),e2=能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A.①B.①③C.②③D.①②13,24()，2.如图，在△ABC中，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N．设用a,b表示向量2ADAB,3AB,AC，abAE,BC,DE，DN,AM,AN．【解析】1.选A.①中的两向量不共线；②中e1=e2，故两向量共线；③中e2=e1，故两向量共线.综上，只有①中的两向量可作为平面的一组基底.12142.因为DE∥BC，所以由△ADE∽△ABC，得又AM是△ABC的中线，DE∥BC，所以又因为△ADN∽△ABM,所以2ADAB,322AEACBCACAB33．．bba22DEBC33．ba11DNDE.23ba111AMABBC222．abaab2ADAB3，21ANAM33．ab考点2平面向量的坐标运算【典例2】(1)(2014·兰州模拟)已知A(1,1),B(-2,2),O是坐标原点，则()A.(2，4)B.(-9，3)C.(-10，4)D.(-8，4)(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则=_______.OA3AB【解题视点】(1)利用向量坐标运算法则求解.(2)结合图形建立适当的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.【规范解答】(1)选D.由题意，得所以(2)以向量a,b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(-1,1),b=(6,2),c=(－1,－3)，根据c=λa+μb得(－1,－3)=λ(－1,1)+μ(6,2)，即答案：4OA1,1,AB3,1,3AB93.OA3AB119384.，所以，，，612,23－－，解得－－，1,4.2－所以【互动探究】在本例(2)中，试用a,c表示b.【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系，则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc，则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3)，xy6,x4,42.x3y2,y2,即解得故bac【规律方法】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【变式训练】已知点A(-1，2)，B(2，8)以及求点C，D的坐标和的坐标.【解析】设点C，D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),得因为1ACAB3，1DABA3，11ACx1,y2,AB3,6,22DA1x,2y,BA3,6.11ACABDABA33，，CD所以点C，D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而=(-2，-4).12121212x11,1x1,y222y2.x0,x2,y4y0所以有和解得和，CD【加固训练】1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1)，则a-2b=()A.(6,3)B.(7,3)C.(2,1)D.(7,2)【解析】选B.a-2b=(3,5)-2×(-2,1)=(7,3).2.已知点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个ABBCCA;OAOCOB;ACOB2OA.③④【解析】选C.由题意得又无公共点，故OC∥BA，①正确；因为故②错误;因为故③正确;因为故④正确．所以选C.OC2,1,BA2,1OCBA，故，OCBA，ABBCAC，OAOC02OB，，