三角函数y=Asin(ωx+φ)中的对称轴[1]

三角函数y=Asin（ωx+φ）中的对称轴江苏韩文美正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+2（k∈Z），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。由于三角函数y=)sin(xA是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令x=k+2，就能得到y=)sin(xA的对称轴方程x=2k（k∈Z）。通过类比可以得到三角函数y=)cos(xA的对称轴方程x=k（k∈Z）。下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。1．解析式问题例1．设函数)(xf=)2sin(x（0），)(xf图像的一条对称轴是直线8x，求的值。分析：正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+2，令2x+=k+2，结合条件0求解。解析：∵8x是函数y=)(xf的图像的对称轴，∴1)82sin(，∴24k，k∈Z，而0，则43。点评：由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数y=sinx的周期是2k，所以会错误的令x=2k+2。2．参数问题例2．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－8对称，则a的值为（）A．2B．－2C．1D．－1分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。解法一：y＝sin2x＋acos2x=21asin（2x＋），其中cos=211a，sin=21aa，由函数的图象关于x=－8对称知，函数y＝sin2x＋acos2x在x=－8处取得最大值或最小值，∴sin（－4）＋acos（－4）＝±21a，即22（1－a）=±21a，解得a＝－1，所以应选择答案：D。点评：过函数y=Asin（x）图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。解法二：显然a≠0，如若不然，x＝－8就是函数y＝sin2x的一条对称轴，这是不可能的，当a≠0时，y＝sin2x＋acos2x=)2cos(1)2sin112cos1(12222xaxaxaaa，其中21cosaa，211sina，即tan=a1cossin，函数y＝21acos（2x－）的图象的对称轴方程的通式为2xk＝k＋（k∈Z），∴xk＝22k，令xk＝－8，则22k=－8，∴=－k－4，∴tan＝tan（－k－4）＝－1，即a1=－1，∴a=－1为所求，所以应选择答案：D。点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法。解法三：∵f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－8对称，∴xfxf88，令x=－8，得04ff，∴sin2＋acos2=sin0＋acos0，得a＝－1，所以应选择答案：D。点评：这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入。是不可多得的一种快捷方便的解答方法。3．单调区间问题例3．在下列区间中函数y＝sin（x＋4）的单调增区间是（）A．［2，］B．［0，4］C．［－，0］D．［4，2］分析：像这类题型，常规解法都是运用y＝Asin（x＋）的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。解析：函数y＝sin（x＋4）的对称轴方程是：xk=k＋2－4=k＋4（k∈Z），照选择支，分别取k＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43，4］或［4，45］，对照选择支思考即知应选择答案：B。点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。4．函数性质问题例4．设点P是函数xxfsin)(的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，则)(xf的最小正周期是（）A．2πB．πC．2D．4分析：根据正弦（或余弦）函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于41周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。解析：设点P是函数xxfsin)(的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于41周期，∴最小正周期为T=4×4=π，即选择答案：B。点评：三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。函数y=)sin(xA的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数图像实质上有无数条对称轴，它们也是有周期性的，它们的周期不是T=k2，而是T=k，可以理解为对称轴的周期是函数周期的一半。只有准确的理解对称轴的特点，才能灵活的应用对称轴解题。