三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数公式整合：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA•CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ=-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1.极限的概念（1）数列的极限：0，N（正整数），当Nn时，恒有AxnAxnnlim或Axn)(n几何意义：在),(AA之外，nx至多有有限个点Nxxx,,,21（2）函数的极限x的极限：0，0X，当Xx时，恒有Axf)(Axfx)(lim或Axf)()(x几何意义：在（)XxX之外，)(xf的值总在),(AA之间。0xx的极限：0，0，当00xx时，恒有Axf)(Axfxx)(lim0或Axf)()(0xx几何意义：在0000(,)(,)xxxxx邻域内，)(xf的值总在),(AA之间。（3）左右极限左极限：0，0，当00xxx时，恒有Axf)(Axfxx)(lim0或Axfxf)0()(00右极限：0，0，当00xxx时，恒有Axf)(Axfxx)(lim0或Axfxf)0()(00极限存在的充要条件：00lim()lim()xxxxfxAfx（4）极限的性质唯一性：若Axfxx)(lim0，则A唯一保号性：若Axfxx)(lim0，则在0x的某邻域内0A(0)A()0fx(()0)fx；()0fx(()0)fx0A(0)A有界性：若Axfxx)(lim0，则在0x的某邻域内，)(xf有界2.无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。注意：0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当x时，xxsin是无界变量，但不是无穷大量。（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；Axfxx)(lim0成立的充要条件是Axf)(（00(,)xxx，0lim）（3）无穷小的比较（设0lim，0lim）：若lim0，则称是比高阶的无穷小，记为()o；特别称为()o的主部若lim，则称是比低阶的无穷小；若limC，则称与是同阶无穷小；若lim1，则称与是等价无穷小，记为~；若limkC，（0,0kC）则称为的k阶无穷小；（4）无穷大的比较：若limu，limv，且limuv，则称u是比v高阶的无穷大，记为1()ov；特别u称为1()uvovv的主部3.等价无穷小的替换若同一极限过程的无穷小量~，~，且lim存在，则()()limlim()()fxfxgxgx(lim0)常用等价无穷小sintanarcsinarctan~ln(1)111e2111cos~2111~21(1)1~1~lnnnaa注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim()(0)ff，~，则()~()ff4.极限运算法则（设Axf)(lim，Bxg)(lim）（1）)()(limxgxf)(limxfBAxg)(lim（2）)()(limxgxf)(limxfBAxg)(lim特别地，)(lim)(limxfCxCf，nxf)(limnnAxf)(lim（3）)()(limxgxfBAxgxf)(lim)(lim(0B)5.准则与公式（lim0，lim0）准则1：（夹逼定理）若)()()(xxfx，则Axx)(lim)(limAxf)(lim准则2：（单调有界数列必有极限）若nx单调，且nxM（0M），则limnnx存在（nx收敛）准则3：（主部原则）()limlim()oo；1111121212()()limlim()()oooo公式1：0sinlim1xxxsinlim1公式2：10lim(1)1lim(1)xxnnxen1lim(1)1lim(1)e公式3：limlim(1)e，一般地，limlim(1)ffe公式4：1101100limlimnnnnnnnmmmxxmmmmnmaxaxaaxanmbxbxbbxbnm6.几个常用极限(0,1)aa（1）1limnna，1limnnn；（2）1lim0xxx，limxxx；（3）10limxxe，10lim0xxe；（4）0limlnxx；（5）001limarctan21limarctan2xxxx；（6）011lim111nnqqqqq不存在