探求一元线性递推数列的通项公式

毕业论文学生姓名******学号********院(系)********专业数学与应用数学题目探求一元线性递推数列的通项公式指导教师2009年５月淮阴师范学院毕业论文（设计）1摘要：数列是初等代数中的重要内容之一，而数列的通项公式又是研究、探讨数列问题的重要渠道．文章讨论了对一阶线性递推数列、二阶线性递推数列和一般k阶线性递推数列的通项公式的求解．关键词：数列，通项，线性递推数列，一元，通项公式Abstract:Sequenceisanimportantpartinelementaryalgebra,andformulaofthegeneraltermofsequenceisalsoanimportantchanneltostudyanddiscussthesequenceproblem.Thearticleistoexplorethesolutionofthegeneraltermformulaofonevariablelinearrecursivesequence,second-orderlinearrecursivesequenceandthegeneralorderlinearrecursivesequence.Keywords:sequence,generalterm,linearrecursivesequence,onevariable,generaltermformula淮阴师范学院毕业论文（设计）2目录1引言…………………………………………………………………………………………………………42两个简单的数列………………………………………………………………………………………43线性递推数列…………………………………………………………………………………………53.1递推数列………………………………………………………………………………………………53.2线性递推数列………………………………………………………………………………………54一元线性递推数列……………………………………………………………………………………64.1一阶线性递推数列…………………………………………………………………………………64.2二阶线性递推数列…………………………………………………………………………………84.3一般k阶线性递推数列…………………………………………………………………………10结论…………………………………………………………………………………………………………18参考文献…………………………………………………………………………………………………19淮阴师范学院毕业论文（设计）31引言在自然界以及日常生活中，我们经常会遇到一些按照一定顺序排列成的一列数即数列，数列是定义在自然数集上的函数，是当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．而数列的通项公式是函数的对应法则，它给出了数列na中第n项na与项数n之间的函数关系，在研究数列时占有重要地位．如果数列的通项公式清楚了，那么这个数列的其他问题就容易解决．掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣．递推数列是数学中一个很重要的工具，是数列教学中的一个难点．利用递推公式求数列的通项公式，多年来一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一，在全国及各省市的高考命题中均以较大分值出现．而递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，对学生观察、分析、推理能力的要求都较高，而递推数列又分为线性递推数列、非线性递推数列．文章将通过对一元线性递推数列的几种常见类型及其通项公式的探讨来提出相应的解题策略，并结合实例加以说明．2两个简单的数列如果数列na（多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式daakk1，,,,3,2,1nk（其中d为常数），则称数列na为等差数列，常数d称为它的公差．如果数列nb（多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式qbbkk1，,,,3,2,1nk（其中q为常数且01b），则称数列nb为等比数列，常数q称为它的公比．1可见，只有当且仅当公差为零时等差数列才为常数列，当且仅当公比为1时等比数列才为常数列．因此，只有常数列既是等差数列又是等比数列．利用归纳法可以很容易的得出等差数列和等比数列的通项公式分别为dnaan)1(1，,3,2,1n；淮阴师范学院毕业论文（设计）4当0q时，11nnqbb，,3,2,1n；当0q时，.,3,2,01,,01nnbbn如果用nA与nB分别表示等差数列na和等比数列nb的前n项的和，那么根据这两个数列的规律可以直接计算出dnnnaaanAnn2)1(2)(11；.1,1)1(1,1,111qqqbqqbbqnbBnnn等差数列和等比数列是我们经常遇到的而且也是比较简单的两个数列，在日常生产和生活中经常会用到这两个数列，有时还可以利用它们的性质对其它一些比较复杂的数列进行求解．例如，在求解一阶、二阶线性递推数列的通项公式时就会用到这两个数列及其性质．3线性递推数列3.1递推数列定义12对任意Nn，由递推关系),,,(21nknknknaaafa确定的数列na称为递推数列，或称为递归数列．例如，设3nan，则确定数列3n的初始条件和递推关系为11a，13321nnaann，.,3,2,1n若f是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列．3.2线性递推数列定义22若数列na从第k项以后任一项都是前k项的线性组合，即淮阴师范学院毕业论文（设计）5nkknknknacacaca2211，1其中Nn，1c，2c，…,kc是常数，0kc，则数列na称为k阶线性递推数列，1式称为数列na的递推方程．与递推方程组相应的代数方程kkkkcxcxcx2211(0kc)2称为k阶线性递推数列na的特征方程．我们经常会遇到一些线性递推数列．例如：1公比为q的等比数列是一阶线性递推数列，其递推方程为nnqaa1，,3,2,1n,0q；2等差数列是二阶线性递推数列，其递推方程为nnnbbb122，,3,2,1n；3斐波那契数列（兔子数列）也是二阶线性递推数列，其递推方程为nnnccc12，,3,2,1n，并且11c，12c．4一元线性递推数列4.1一阶线性递推数列基本形式:已知aa1（a为常数），且qpaann1（0p且为常数）．我们先看这样一个数列)()(1nqanpann（0)(np），要求这一数列的通项公式不好直接入手，必须引入一个待定辅助函数)(nk，使得))()((1)(1nkanpnkann，此时原数列便转化为nnbnpb)(1类型，其中)1(11nkabnn．而很容易求出数列nb的通项公式为111)(nknkpbb，为了求出)(nk,可以规定0)1(k，此时11ab．我们把所构淮阴师范学院毕业论文（设计）6造的递推数列与原递推数列相比较有)1()1()1()()2()2()2()3()1()1()1()2(nqnknpnkqkpkqkpk求得11111j)()()()(nknkkjpkqkpnk(2n)，从而由111)()(nknkpanka，得111111111)()()()()(nknkkjnknjpkqakpkpanka43，．上面所得的na即为一般一阶递推数列的通项．若其中的)(np或)(nq为常数时仍然可以用此方法求解，则原式将转化为以下三种形式：1qpaann1（p，q为常数且0p），其通项公式为111111nknkkjnpqapa；2)(1nqpaann（p为常数且0p），其通项公式为11111)(nkknnnpkqppaa；3qanpann)(1（q为常数且0)(np），其通项公式为111111)()(nknkkjnjpqakpa．形式1即为一阶线性递推数列．以上三种数列的通项公式除了运用上面所给的方法外还可以通过其他方法求得．特别是在解由数列递推关系式求通项公式的具体数学命题时，方法更灵活，技巧性更强，如：公式法、换元法、递推法、归纳法、数学归纳法、迭代法、待定系数法等等5．但具体用哪种方法可以根据题目来定，下面举例说明．淮阴师范学院毕业论文（设计）7例1已知数列na满足11a，231nnaa，,,2,1n求通项na．解用待定系数法将原递推公式变形为)1(311nnaa，则数列1na是以2为首项，3为公比的等比数列，故1321nna，所以1321nna．若直接利用公式，便有111113213nkkinkna1113213nkkn12132323213nn132323111nnn．可见两种方法得到的结果相同．例2已知数列na满足11a，112nnnaa，,,2,1n求通项na．解（逐差法）由题意得112nnnaa，依此类推便有,221nnnaa,2321nnnaa，,2012aa将上面各式逐项相加得1222212101nnnaa，所以12nna．若直接利用公式，则有淮阴师范学院毕业论文（设计）811111221211121nnnkkna，结果仍然相同．例3已知数列na满足11a，nnanna11，,,2,1n求通项na．解（逐商法）由题意得11nnaann，,,2,1n依此类推便有nnaann11，1221nnaann，，,2112aa将上面各式逐项相乘得naan11，所以nan1．同样，如果直接带入公式有nkkjpkpanknknkkjn11)(01)(1111111，结果仍然相同．4.2二阶线性递推数列4.2.1二阶线性齐次递推数列基本形式：nnnqapaa12(0,qp且都为常数)，已知1a，2a．引入待定系数A,B,使得)(11nnnnAaaBAaa，此时与原式比较有BAp，ABq．这时数列1nnAaa就是等比数列，而A,B是方程qpxx2的两个根，因为二次方程qpxx2的两根总是存在的（可以是重根或虚数根），所以待定系数A和B是存在的并可很容易的求出．淮阴师范学院毕业论文（设计）9若BA，则由原递推数列可以得到下面两个递推式2121)(nnnBAaaAaa和2121)(nnnABaaBaa，消去1na得到ABBAqaABaannnnn221112．若BA，则由原递推数列可以得到下面的递推式2121)(nnnAAaaAaa),3,2,1(n．因为0A（否则0q），所以等式两边可以同时除nA，得到21211AAaaAaAannnn),3,2,1(n，故数列nnAa是首项为Aa1，公差为212AAaa的等差数列．从而有2121)1(AAaanAaAan