3.2 简单的三角恒等变换(二)

3.2简单的三角恒等变换（二）结合右图体会公式的推导过程22tantan2=1tan你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?31sincos;22(1)sincos;(2)cossinsincossin().666222(sincos)2(cossinsincos)22442sin().4sincos=axbx那么？1.通过三角恒等变换，把形如的函数转化为形如的函数.(重点）y=sincosaxbxsin()yAx2.灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.(重点、难点)3.灵活运用三角公式解决一些实际问题．2222222222222222cos,sinsincos(sincos)cossinsincossincoscossinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabxsincosxaxbx微课1的变形及应用sincosaxbx能化成一个角的三角函数值吗？提示:3sinx－3cosx＝()A．sinx－π6B．3sinx－π6C.3sinx＋π6D．23sinx－π6D【即时练习】例1求函数的周期，最大值和最小值.sin3cosyxx【解题关键】利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.sin3cos132(sincos)22yxxxx2(sinxcoscosxsin)332sin(x).3所以周期T=2π，最大值为2，最小值为-2.【解析】通过三角恒等变换，我们把形如的函数转化为形如的函数，从而使问题得到简化.sincosyaxbxyAsin(x)【方法规律】函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π【解题关键】利用二倍角公式和辅助角公式求解.B【变式练习】微课2三角变换在化简、证明中的应用.cos10tan103.sin50例2化简sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50（）（）原式oooooooo13sin10-cos1022=2sin50sin(10-60)sin(-50)=2=2=-2.sin50sin50【解析】三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换.（1）找差异：角、名、形的差别.（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来.（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后正用或逆用，常见形式如下：cosα=cosβcos（α-β）-sinβsin（α-β），1=sin2α+cos2α，1tan301tan30=tan45tan301tan45tan30=tan（45°+30°）等.【方法规律】常见的三角变形技巧有①切割化弦；②“1”的变用；③统一角度，统一函数，统一形式等等．3－sin70°2－cos210°等于()A.12B.22C．2D.32【解析】3－sin70°2－cos210°＝3－cos20°2－cos210°＝3－（2cos210°－1）2－cos210°＝4－2cos210°2－cos210°＝2.C【变式练习】例4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.3COP分析：（1）找出与之间的函数关系.S（2）由得出的函数关系，求S的最大值.OABPCDQRtOBCOBcos,BCsin.DARtOADtan603.OA在中，，解：在中o333OADABCsin,3333ABOBOAcossin.3所以所以2ABCDS,3SABBC(cossin)sin33sincossin3设矩形的面积为则13sin2(1cos2)26131313(sin2cos2)sin(2).226663350236662626133S6633ABCD66最大由得所以当，即时，因此,当时，矩形的面积最大，最大面积为+====.,..已知半径为1的半圆，PQRM是半圆的内接矩形，如图，P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积的值．PQRMO【解题关键】连接OP,设用角表示面积.POM,【变式练习】PQRMOPOM,OMOPcoscos,PMOsinsin,【解析】P,P连接O设则PQRM2OMPM2cossinsin2.14所以矩形的面积S当=时，S最大，最大值为.1、已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A.－1010B.1010C.3103D.－35B2.函数f(x)＝sinx－cosx，x∈0，π2的最小值为()A．－2B．－3C．－2D．－1【解析】f(x)＝2sinx－π4，x∈0，π2.∵－π4≤x－π4≤π4，∴f(x)min＝2sin－π4＝－1.D3.当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是()A.32B．－32C.13D．4B【解析】y＝2cosx－3sinx＝13213cosx－313sinx＝13(sinφcosx－cosφsinx)＝13sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋π2时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋π2＋x，(k∈Z)∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，∴cosx＝sinφ＝213，sinx＝－cosφ＝－313.∴tanx＝－32.4.已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．【解析】设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan[12(180°－α)]＝tan90°－α2＝1tanα2＝1＋cosαsinα＝1＋4535＝3.35.函数23sin2cos2yxx的最小正周期为.23sin2cos2yxx=3111sin2cos2sin222262xxx所以22T.【解析】6.已知函数f(x)＝cosπ3＋x·cosπ3－x，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．【解题关键】利用两角和、差的余弦公式，二倍角公式及正、余弦的辅助角公式，化f(x)、h(x)为Acos(ωx＋φ)的形式，然后研究函数的性质．【解析】(1)f(x)＝12cosx－32sinx·12cosx＋32sinx＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－31－cos2x8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos2x＋π4，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值22.此时x的取值集合为xx＝kπ－π8，k∈Z.【方法规律】1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．【互动探究】已知f(x)＝cos2x＋π12＋sinxcosx．求：(1)f(x)的最值；(2)f(x)的单调递增区间．【解析】f(x)＝121＋cos2x＋π6＋12sin2x＝12＋12cos2xcosπ6－sin2x·sinπ6＋12sin2x＝1212sin2x＋32cos2x＋12＝12sin2x＋π3＋12.(1)f(x)max＝1，f(x)min＝0.(2)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z).1yasinxbcosxyAsin(x)..形如的函数化成形如的函数求解,体现化归思想2.用函数法求平面图形面积的最大或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积表示为这个角的函数，转化为三角函数的最值问题.差角余弦公式和（差）角公式倍角公式简单三角恒等变换3、三角恒等变换知识框架图不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定。——德谟克里特