小学数学凑十法与破十法

1小学数学凑十法与破十法小学一年级数学的计算内容主要包括：10以内的加减法、20以内的加减法、100以内的加减法三部分内容。其中，10以内的加减法和20以内的进位加法在第一册出现，20以内的退位减法和100以内的加减法（只包括口算部分）在第二册出现。执教过一年级数学的老师对于这部分内容很熟悉，也一定了解“20以内的减法”的基本算理——“破十法”。在旧版教材中，“破十法”被摆在十分明显的位置，并通过例题的解法演示，一步一步地引领学生掌握。在课标实验教材中，“20以内的减法”从第1课“十几减几”开始，“十几减几”中出现的算式和例题都是个位够减的，并不涉及退位问题。第2课“11减几”则涉及退位减，并在这一课出现“破十法”。教材中出现情景“聪聪买皮球”，从11个皮球中取走3个，引导学生在生活情景中发现数学问题，并想办法解决。具体操作方法是运用学具“摆一摆、算一算”，并展示书中主人公“红红”和“聪聪”的办法，红红直接从11中数出3个，还剩8个；聪聪则使用“破十法”，把11分成10和1，先从10中取走3个，剩下7个，再加上1个等于8个。新教材中的这样的设计是符合“新课标”理念的，体现了“数学学习从生活实际出发”，“让学生学习有价值的数学”，“设计学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”的思想。可是，笔者在教学过程中发现了这样一个问题：当我们让孩子动手实践，鼓励他们“用自己的方法算时，教材中重要的“破十法”备受冷落，几乎没有学生选择这种思路解题。大多数孩子都选择了红红的2办法——直接从11中数出3个，得到剩下的8个。情争之下，老师只好亲自出马，在投影下演示了聪聪的“巧妙算法”，教材中的重点内容——破十法。然而，问题并未由此解决，当老师再次尊重学生感受，让孩子评价两种算法的优劣时，新的问题又出现了：所有的孩子都认为“红红的办法”更好，没人愿意主动接受教材中的“破十法”。笔者认为，课堂中出现的这一现象颇有代表性，反映了课改实验中一个十分重要的问题——教材编写者和教学实施者对学生已有经验的忽视。仍以“破十法”的教学内容为例，我们在教材编写和教学设计中犯了以下两个错误：其一，把握学生心理特点不准确。一年级学生以形象思维为主，逻辑思维能力低下。对于他们而言，11减3的最好办法就是从11中一个一个地数出3个。而且事实证明，他们的方法只需要一步就能完成，确实比先算10减3，再算3加1简单。在这样两种算法之间，孩子自然而然地会选择前者。其二，教材设计不符合学生认知规律。11是10的“近邻”，以11为退位减法的开始可以降低教材难度，便于学生理解。3则是10以内一个较小的数，先算11减3也是为了降低教材难度。可是，我们这样一味地考虑降低难度，恰恰剥夺了学生尝试其他方法的兴趣和刺激。试想，如果教材中先出现11减5，5在10以内不算一个小数，直接用11去减，学生需要一个思考的过程。在思考的过程中，他们就可能尝试并发现新的方法。实验教材中，也出现了11减5，却是在113减3之后，这样的设计无法进一步打开学生的思路，学生会受到原有经验和先入为主效应的影响，教材中的重点——破十法，也就无从突破了。笔者认为，在“课改实验”中，无论是教材的编写者，还是教学的执行者，仅有一些前卫的思想和理论是不够的。好的教学，必须是有的放矢的，必须是面向学生，面向全体学生的。尊重学生，就应该尊重他们的理解和经验，尊重他们的思考的发现，更要尊重他们的心理特点和认知规律。只有我们真正了解学生，才能够真正实现“让每个孩子在生活情景中，学到有价值的数学”。进位加的计算方法是“凑十法”，退位减的计算方法是“破十法”，即掌握“凑十法”与“破十法”是熟练计算20以内、100以内的加减法的基础和关键。一、凑十法“凑十法”是计算20以内进位加法的基础和核心，它的过程很复杂，简言之是：先分，再凑十，最后把零头相加。具体来说，分之前的观察十分重要，首先决定凑哪个数，分哪个数，要凑成十的那个数还缺几，就从另一个数分出几，这个思维过程包含量不变的数学思想和最优化思维。这里的最优化思维是思考问题从最好、最简洁的角度，因此这种“凑十法”就是让学生计算起来既容易想，又不容易出错的过程。“凑十法”虽然分三步，但这个过程之前的观察思维是复杂的，是“凑十法”过程的酝酿和成形，所谓的“胸有成竹”。例如：9+7，它的“凑十法”有两种不同的形式，41、9+7=162、9+7=16第一种思考的过程是：凑9分7，凑9成十缺1，需要从7中分出1，还剩下6。具体过程是：①把7分成1和6，②1与9凑成10，③10再加7剩下的6是16。第二种思考的过程是：凑7分9，凑7成十缺3，需要从9中分出3，还剩下6。具体过程是：①把9分成6和3，②3与7凑成10，③10再加9剩下的6是16。以上两种形式的“凑十法”，如果只看算式想凑十过程，即抽象又复杂，如旱地里拔葱，很难，结合实物、学具让学生动手摆摆，在学生的头脑中留下的是生动有趣的实物图象，如：上面的9+7，让学生左边摆9个黄圆形，右边摆7个红圆形，然后把1个红圆形移到左边成为10个，学生口述过程是：7分成1和6，9加1得10，10加6得16；或者左边的3个黄圆形移到右边，右边成为10个，学生口述过程是：9分成3和6，3加7得10，10加6得16。理解了“凑十法”的过程，就是明白了“凑十法”的算理，接着采用各种形式巩固“凑十法”。一是看图填方框，如：9+5=□9+5=□,二是根据教材提供的习题，圈圈、算算，三是根据教材提供的习题，看图列式计算等。5学生掌握了“凑十法”的算理后，利用各种形式，采用各种手段，达到脱口而出的程度，从而形成技能，这一步决定着学生的熟练程度，只有多加练习，才能形成熟练的口算能力。一般每堂课都拿出一些时间练习计算，天天练，日久也就克服了这个难点，做得又对又快。二、破十法20以内的退位减法的计算方法，比进位加法多一些，因为有进位加法做基础，所以教材上只介绍了“做减法，想加法”，教材上出现的20以内的退位减法的例题是以插图的形式出现的，如：12—9，12个风筝用虚线圈起9个，学生一看就知道得3个，做一做中，用小棒摆摆或者圈圈，总之，都是以学生喜闻乐见的形式出现的。但是，如果20以内的进位加法不过关，做20以内的退位减法就会有影响，因此，除了做减法想加法外，我向学生介绍了典型的方法——用“破十法”来计算20以内的退位减法。由于学生已经学会了复杂的“凑十法”，所以在学习“破十法”时，相对简单些。“破十法”的思维过程是：先分，后减，再加。即先从被减数分出一个10，再从10中减去减数，所得的差与被减数剩下的合起来。如：12—9=3，先把12分成10和2，10减9得1，1再加2得3。216三、100以内的加减法100以内的加减法包括整十数加、减整十数，两位数加、减一位数和整十数，以上这些内容教材上都是以图画的形式出现，在一个个故事情节中学习。其中，重点是两位数加、减一位数和整十数，通过操作小棒，成捆的与成捆的相加减，单根的与单根的相加减，从而让学生理解十位上的数相加减，个位上的数相加减的算理。两位数加、减一位数和整十数中，两位数加、减一位数的进位加、退位减是教学的难点，它计算的基础和核心还是“凑十法”与“破十法”，采用的具体措施是让学生操作小棒，掌握方法。1、两位数加一位数的进位加如：教学24+9时，左边摆2捆零4根小棒，右边摆9根，怎样把它们合起来？9根加4根是13根，即1捆零3根，这一步就是“凑十法”的过程，接着，13根加2捆是3捆零3根。然后，不摆小棒，看着算式24+9直接口述计算过程，即：4加9得13，13加20得33。2、两位数减一位数的退位减如：教学36—8，先摆出3捆零6根小棒，然后拿走8根，怎样拿？⑴拿走8根的一种方法是，先拿走散的6根，再从一个整捆中拿走2根，剩下的8根与原来的其它两捆合起来是28根。⑵拿走8根的另一种方法是：散的6根减8根不够减，需与1捆合起来是16根，从16根里减去8根得8根，这一步就是“破十法”的应用，然后8根与原来的2捆合起来是28根。第一种方法容易理解，但过程相对麻烦些，第二种方法用破十法计算，也容易理解，过程也相对简单些，7但需要有扎实熟练的20以内的退位减法作基础，否则，计算正确率低，或计算速度特别慢，现在，在教学中，主要应用第二种口算方法，即用的基本方法还是“破十法”。从印象中，现行教材与传统教材有一些差别，用“凑十法”计算20以内的加法时，介绍了两种本质相同形式不同的方法，有利于学生发散思维能力的拓展，传统的教材只介绍了一种，思路相对狭窄些。而传统的教材用“破十法”计算20以内的退位减法时，例题很多，可能因为这种方法难理解的缘故，而现行教材主要是看减法想加法，所以只要用一个例题引出计算方法就可以，因此，现行教材在教学20以内的退位减法时，干脆利落，就纯粹计算部分只出现了一个例题。用“凑十法”、“破十法”来计算20以内、100以内的进位加和退位减，是教学中强调的重点，大部分学生掌握得较好，算得又对又快，但是就是有个别学生不习惯于用这种方法，他们喜欢数手指或列竖式（现在教材没有出现竖式，可能是家长教的）来计算，虽然速度慢了些，也能算对，其实，随着他们年龄的增长，随着练习的增多，即使学不会“凑十法”、“破十法”，他们的计算能力也能逐步提高。从另一方面讲，他们虽然算的慢，但在活生生的现实中会算会用，并也表现出一些灵性，能积极、灵活、敏捷的应对各种问题，这样的学生是不是也应该被认可，正如数学课程标准所指出的：“不同的人在数学上能得到不同的发展。”