682-7矩阵的秩

信息系刘康泽信息系刘康泽第2-7节矩阵的秩信息系刘康泽一、矩阵秩的概念为讨论矩阵的秩，先介绍A的k阶子式的概念。【定义】在m×n矩阵A中任取k行k列，位于这k行和k列交叉处的元素，按原相对位置不变所构成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式（min(,)kmn„）。例如，设31012112014221153410A则A中的任意一个元素可以理解为A的一阶子式；信息系刘康泽由A的第1、3行，第2、5列所构成的二阶子式为1221。31012112014221153410A由A的第1、2、4行，第2、3、4列交叉处的元素所构成的三阶子式为101120341。【注1】A的k阶子式是一个k阶行列式，而不是矩阵。当AO时，它的任何子式都为零；当AO时，A至少有一个一阶子式不为零。信息系刘康泽【定义】设A为mn矩阵，若A存在一个非零的r阶子式，而任意1r阶子式都为零，则称r为A的秩，记矩阵A的秩为()rAr。对于零矩阵，规定()0rO。【注2】m×n矩阵A的秩也可以定义为：若A存在一个非零的r阶子式，而A中高于r阶的子式都为零，则()rAr。即A的不为零子式的最高阶数r就是A的秩。A的秩能反映出A的某些内在重要属性，在矩阵理论中占有极其重要的地位。信息系刘康泽例1设123235471A，求()rA。解：显然A中存在一个二阶子式12023，又因为A的三阶子式就是A，而0A，故A的非零子式的最高阶数为2。因此：()2rA。信息系刘康泽例2设21032031250004300000A，求()rA。解：A是一个阶梯形矩阵，非零的行有三行，又存在3阶子式2130320004，故()3rA。故A的任意4阶子式都等于零。信息系刘康泽【注3】易知：阶梯形矩阵的秩就是该阶梯形矩阵中非零行的数目。,022031解计算A的3阶子式，例3设矩阵132202132015A，求()rA。1321323221220210232130130201205015215故()2rA。信息系刘康泽,AB132213220213021320150000显然，B的非零行的行数为2，rB22.rArB即初等变换前后的两个矩阵的秩相等，这个结论是否具有一般性？也即，初等变换是否不改变矩阵的秩？而对A作初等变换有：如果这个结论成立，则由于任意矩阵A总可以通过有限次初等变换化为阶梯形矩阵。而阶梯形矩阵的秩就是其非零的行数，从而立即得到()rA。信息系刘康泽二、矩阵秩的求法【定理】初等变换不改变矩阵的秩，即若A经过初等变换变成B，则()()rArB。证明：先证：若A经过一次初等行变换变成B，则()()rArB„。设()rAr，且A的某个r阶子式0rD。当(,)ijrrAB或ikrAB时，在B中总可以找到与rD相应的子式rD，此时：rrDD或rrDD或rrDkD，因此0rD，从而()rrB„。信息系刘康泽当ijrkrAB时，分三种情况讨论：对于(1),(2)两种情况，显然B中与rD对应的子式rrDD0，故()rBr…。（1）rD中不含第i行；（2）rD中含第i行及第j行；（3）rD中含第i行，但不第j行。对于（3）ˆrijijrrDrkrrkrDkD，信息系刘康泽由于ˆrD中不含第i行，故A中有不含第i行的r阶非零子式，因此()rBr…。若ˆ0rD若ˆ0rD，则0rrDD，也有()rrB„，因此A经过一次初等行变换变成B，必有：()()rArB„由于初等变换是可逆的，故B可经过一次逆变换变成A，故又有()()rBrA„。因此()()rArB，即经过一次初等行变换矩阵的秩不变，由此可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变。信息系刘康泽同理可证，经有限次初等列变换矩阵的秩也不变。综上，初等变换不改变矩阵的秩。初等变换求矩阵秩的方法：将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵，则阶梯形矩阵中非零行的数目就是矩阵的秩.例4设32050323612015316414A，求()rA。解：对A作初等行变换，使其变成阶梯形矩阵，信息系刘康泽41461351021632305023A0502335102163234146114rr24rr信息系刘康泽0502335102113404146124rr1281216011791201134041461323rr424rr84000840001134041461312rr413rr信息系刘康泽0000084000113404146143rr由阶梯形矩阵有三个非零行可知()3.rA信息系刘康泽例5设1221124802,2423336064A，求()rA及()rA。解：设()A经过初等行变换变成阶梯形ˆˆ()A，则A的阶梯形矩阵就是ˆA。故从ˆˆ()A可以同时看出()rA及()rA。信息系刘康泽212rr413rr312rr()A1221124802242333606413600512000240011221212r32rr423rr10000500000120011221315r34rr00000100000120011221()2,()3.rArA信息系刘康泽解：nbbbbA2122020202，阶非零子式1n必须等于0例6设n阶方阵bbbbAbb2200020002，n2且rAn1，则b。信息系刘康泽若rAn1，则必有：nb21202，即：bn21。例7设aAaaaaa12023323，则rA（）。（A）2；（B）1；（C）3；（D）与a的取值无关。解：对A作初等变换（将3列加到1列），aaAaaaa1201202303323000，由此：rA2。故选择（A）。信息系刘康泽三、矩阵秩的性质根据定义，矩阵的秩有如下简单结论：（1）设A为m×n矩阵，则0()min,rAmn剟，即A的秩不会超过它的行数，也不会超过它的列数。特别地当()mnrAm时，称A是行满秩矩阵；当()mnrAn时，称A是列满秩矩阵；更特别地，若A是n阶方阵，且()rAn，称A是满秩矩阵；()rAn，称A是降秩矩阵。信息系刘康泽（2）n阶方阵A是满秩矩阵的充要条件是0A；n阶方阵A是降秩矩阵的充要条件是0A。即()0rAnAA可逆A非奇异；或()0rAnAA不可逆A奇异。（3）若A中所有的k阶子式都为零，则()rAk；若A中有一个非零的k阶子式，则()rAk…。（4）()()TrArA。（5）()(),(,0)rkArAkRk。例如()(),(3)()rArArArA。信息系刘康泽证明：由于,PQ，故它们可以表示成一系列初等矩阵的乘积：12sPPPP，12tQQQQ，于是12sPAPPPA，12tAQAQQQ1212stPAQPPPAQQQQ，这相当于对A作了一系列初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立。（6）若P可逆，Q可逆，则()()()()rPArAQrPAQrA。信息系刘康泽(8)()()();rABrArB„(9)()()();rABrArB„0(10)()();0ArrArBB(7)()min(),();rABrArB„（11）若ABO，则()()rArBn刵。其中A是mn矩阵，B是np矩阵。信息系刘康泽*()()1()1.0()1nrAnrArAnrAn若若若证明（12）：（12）设A是n阶方阵，则有：1）设()rAn，则0A，于是1*0nAA，从而*A满秩，即()rAn。2）设()1rAn，则0A，由于*AAAEO，故由上述（10）知：*()()rArAn刵信息系刘康泽于是*()()(1)1rAnrAnn刵；另一方面，由()1rAn知，A中至少有一个1n阶子式非零，即*A中至少有一个1阶子式非零，故又有*()1rA?，从而*()1rA=；3）设()1rAn，则A中所有的1n阶子式全为零，而*A中的所有元素都是A的代数余子式(1)0ijijijAM，故*A是零矩阵，所以*()0rA=。信息系刘康泽（13）设,AB分别为mn及np矩阵，则有：rABrArBn…。min,TrAArAmnmn剟，例8设A为mn矩阵，且mn，则必有（）。（A）TAA0；（B）TAA0；（C）TAA0；（D）TAA0。解：TAA为nn方阵，注意到：所以TAA是降秩矩阵，故TAA0，选择（B）。信息系刘康泽【定理】设A是mn矩阵，则()rAr的充要条件是A的等价标准形是rEOOO。证明：充分性设A的等价标准形是rEOOO，则A可以通过一系列的初等变换变成rEOOO，故()rEOrArrOO。信息系刘康泽必要性设()rAr，由于任意A总可以与一个标准形pEOOO等价，则()pEOrApOO，如果pr，将导致()rAr，矛盾，故A的标准形必是rEOOO。信息系刘康泽【定理】两个mn矩阵,AB等价的充要条件是它们的秩相等，即()()rArB。证明：必要性设,AB等价，则A可经过初等变换变成B，而初等变换又不改变矩阵的秩，故()()rArB。充分性设()()rArBr，则A与B的标准形都是rEOOO，故存在可逆的11,PQ及22,PQ，使得1122rEOPAQPBQOO，信息系刘康泽即112112PPAQQB，令112112,PPPQQQ，则有PAQB（其中,PQ可逆），由此A与B等价。信息系刘康泽rrEPEOQOrrEPEOQO例9设A为mn矩阵，且rAr0，证明：存在mr的列满秩矩阵F及rn的行满秩矩阵M，使得：AFM。证明：由于rAr0，则存在可逆P及Q，使得：rEOAPQOO令：,rrEFPMEOQO则有rFrMr（F列满秩，M行满秩）。信息系刘康泽例10设A为mn矩阵，则rA1的充要条件是存在m维非零列向量及n维非零列向量，使得：TA。证明：充分性：设,mnababab1122，（不妨设,ab1100）则：nnmmmnababababababAababab111212222212信息系刘康泽由于：ab110，故rA1…，又：min,rArr1刴所以：rA1。必要性：设rA1，则A的任意两行成比例，设：(,,,