逆z变换

§8.4逆z变换•部分分式展开法•幂级数展开法•围线积分法——留数法一．部分分式展开法aznuaaznuaazzznn)1()(变换的基本形式1．z变换式的一般形式zRz包括收敛域右边序列因果序列,。即必须满足于分母多项式的阶次的阶次不能大处收敛，其分子多项式为了保证,rkzkkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX112210112210)()()(αstut1e拉氏变换的基本形式：2．求逆z变换的步骤为真分式zzxz提出一个zzzx查反变换表再部分分式展开3．极点决定部分分式形式NmmmzzzAAzX10)(0,)()()()()(22110nzAzAzAnAnxnNNnn对一阶极点NNNmmmzzAzzAzzAzAzzAzAzzX2211010)(的系数极点0000zabA的系数极点mzzmmzzzzXzzAm)()(NNzzzAzzzAzzzAAzX22110)(所以点和高阶极点。的极点也可分为一阶极zX高阶极点（重根）sjjijzzzBzX1)()(设阶极点。为szziizzsijsjsjzzXzzzjsB)()(dd)!(1则二．幂级数展开法2101221012zxzxzxzxzx)()()()()(kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX112210112210)()()(z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换nnznxzXnx级数的系数就是序列（是一个z的幂级数）1．幂级数展开法2．右边序列的逆z变换的降幂排列以将zzX2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn3．左边序列的逆z变换3211)3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn的升幂排列以将zzX三．围线积分法求z反变换1．z逆变换的围线积分表示10nnznxzX变换已知z得z逆变换公式3djπ211cnzzzXnx所以用留数定理求围线积分。推导cmzzzXdπj211，并进行围线积分式两边同乘以11mz在的收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C，的全部极点都在积分路线的内部。zX1nzzX10nnznxzXcnmnzzznxdjπ2101积分与求和互换2dπj2110cmnnzznx)Re(z)Im(jz0C推导θzjRe令积分路径上的0ππj)1j(1dRejejπ21nθθnmnmθRnx右0ππ)j(deπ21nθnmnmθRnx。时积分为积分不为零，只有当π2mnmndπj2110cmnnzznxcmzzzXdπj211推导2时积分为积分不为零，只有当mnmnmnmnnx0)(右3dπj211cnzzzXnx所以3。逆变换的围线积分表示式即为zcmzzzXdπj211dπj2110cmnnzznx0ππ)j(deπ21nθnmnmθRnx应用柯西定理40001djπ211kkzzck相当。式右边积分中时，与）式当即（mnk)(204式和比较)4()2(。右边的结果为nx式。同样也可得到)3(3dπj211cnzzzXnx所以2dπj2110cmnnzznxcmzzzXdπj2112．用留数定理求围线积分cnzzzXnxdπj211mzznmzzXsnx)(Re)(1围线积分等于围线C内所有极点的留数之和mmzznmzznzzXzzzzX)()(Res11单阶极点mmzznkmkkzznzzXzzzkzzX1111)(dd!11)(Resk重极点右边序列左边序列围线积分等于围线C外所有极点的留数之和mzznmzzXsnx)(Re)(1