新北师大版数学八年级下册复习全解及培优

一、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：角形底和腰不相等的等腰三等边三角形等腰三角形不等边三角形三角形三角形按角的关系分类如下：钝三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形.2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：.第三边三角形的两边之差小于第三边三角形的两边之和大于已知三角形的两条边长是7和3，那么第三条边长可以取的范围是一个三角形的三边长分别为cba,,且0accbba，则该三角形必为A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理内角任何一个和它不相邻的三角形的一个外角大于角不相邻的外角角角互余两个直角三角形角角�.的和两个内等于和它形的一个�三锐的�180和等于形三个内三注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.4、三角形的面积三角形的面积=×底×高全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS④如图1，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形的对数为（）A．1B．2C．3D．4⑤等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,腰长为a,则其腰上的高是.3、全等变换只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换.（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换.⑥如图2所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合．如果AP=3，那么PP′的长等于（）A．3B．32C．23D．4等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.（2）要会区别三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等三角形中的中位线4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线⑦如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为⑧ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？⑨如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点。(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）⑩在△ABC中，90A，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：BDCE21已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：BFCE21．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AD1BMCE一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系1.一般地,用符号“”(或“≤”),“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.不等式的基本性质三.不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四.一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设:设出适当的未知数;③列:根据题中的不等关系,列出不等式;④解:解出所列的不等式的解集;⑤答:写出答案,并检验答案是否符合题意五.一元一次不等式与一次函数六.一元一次不等式组1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(ba,为实数,且ba)328212xx例题(1)下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞O，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个(2)不等式)2(392xx的正整数解是(3)不等式223127xx的负整数解有(4)直线bkxy与两坐标轴的交点如图所示，当0y时,x的取值范围是（）A．2xB．2xC．1xD．1x(5)解下列不等式组：)1(46)1(5)3(62xxxx4233225351xxxxxxxxx237121)1(325(6)每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵。若每人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少(但有树植)，问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？(7)在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元。（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．三、分解因式一、分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,也就是把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系.二.提公共因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式,根据乘法分配律的逆运算，就可以把这个公因式提出来,将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.是因式分解的最基本也是最常用的方法。2.多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。3.易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.例题：（1）axabxacxaxmmmm2213(2)aababaabba()()()322221368987521136898745613689872681368987123(4)412132qpp()()不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值三.运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:(2)完全平方公式:(3)立方和、立方差公式:)()(2233babababa补充：欧拉公式：))((3222333cabcabcbacbaabccba12222()[()()()]abcabbcca注意：因式分解要分解到底.例222244yxyxyx3.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,由分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.例题：(1)把aabb2222分解因式的结果是(2)已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值(3)已知cba、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。(4)分解因式：3223882xyyxyx_________(5)已知：321221121mcmbma，，，求aabbaccbc222222的值。(6)若9272233y