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2012-9-201材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础第四章蒙特卡罗方法MonteCarlosimulationMonteCarlosimulation2012-9-202西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础由Metropolis在二次世界大战期间提出：Manhattan计划，研究与原子弹有关的中子输运过程；MonteCarlo是摩纳哥（monaco)的首都，以赌博闻名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco统计模拟方法，statisticalsimulationmethodÆ利用随机数进行数值模拟的方法2012-9-203西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础蒙特卡罗法的应用二十世纪四十年代中期，由于电子计算二十世纪四十年代中期，由于电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并且在核武器的研制中首先得法被提出来，并且在核武器的研制中首先得到了应用。到了应用。目前已广泛运用到物理学、统工程、科目前已广泛运用到物理学、统工程、科学管理、生物遗传、社会科学等学科领域，学管理、生物遗传、社会科学等学科领域，表现出独特功能和优越性。表现出独特功能和优越性。2012-9-204西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础一、基本思想避免微观确定论模型处理宏观体系的所有原子、避免微观确定论模型处理宏观体系的所有原子、分子的微观状态的困难。分子的微观状态的困难。关键是整个系统的运动变化，无需（很难）每个关键是整个系统的运动变化，无需（很难）每个原子、分子的运动细节，原子、分子的运动细节，通过对微观体系在时间、空间的同步粗粒化，建通过对微观体系在时间、空间的同步粗粒化，建立描述系统特征的模型，最重要的是概率模型。立描述系统特征的模型，最重要的是概率模型。2012-9-205西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础二、特点用随机抽样法解决数学物理问题用随机抽样法解决数学物理问题,,采用概率模型，采用概率模型，通过不断产生随机数列来模拟过程，也称随机抽通过不断产生随机数列来模拟过程，也称随机抽样技术、统计实验方法。样技术、统计实验方法。可对多体问题的概率模型的涨落和弛豫求数值可对多体问题的概率模型的涨落和弛豫求数值解。解。可求解确定性问题，更适合随机性问题，在原可求解确定性问题，更适合随机性问题，在原子、分子水平跟踪体系演化。子、分子水平跟踪体系演化。2012-9-206西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础蒙特卡罗法的特点实现实现GibbsGibbs统计力学统计力学,,用于没有内禀动力学模型的用于没有内禀动力学模型的体系体系体系位形转变通过马尔可夫过程，由随机性演化体系位形转变通过马尔可夫过程，由随机性演化引起，马尔可夫过程对应于概率方面的内禀动力引起，马尔可夫过程对应于概率方面的内禀动力学，学，计算程序简单，占内存少，难处理非平衡问题。计算程序简单，占内存少，难处理非平衡问题。2012-9-207西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础蒙特卡罗法的特点所谓蒙特卡罗方法，就是根据待求随机问题的变化规律，根据物理现象本身的统计规律。或者人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。它又称随机抽样技巧或统计试验2012-9-208西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础三、概率（随机）模型着重体系的运动与变化特征着重体系的运动与变化特征，不改变多粒子、多自由度问题，不改变多粒子、多自由度问题的复杂本质。的复杂本质。不要求每个原子、分子的运动细节不要求每个原子、分子的运动细节，而使微观体系在时间、，而使微观体系在时间、空间同步粗粒化。空间同步粗粒化。通过计算机抽样实验、统计实验，实现物理量的计算也也可人为构造出概率模型可人为构造出概率模型，进行大量的统计实验，使统计，进行大量的统计实验，使统计参量为待求问题的解。参量为待求问题的解。依赖待求问题的基本物理、化学定律，以依赖待求问题的基本物理、化学定律，以概率论和数理统概率论和数理统计学为基础计学为基础，根据实际问题的概率法则，抽象出数学问，根据实际问题的概率法则，抽象出数学问题，建立概率模型。题，建立概率模型。2012-9-209西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础统计方法－求解多维定积分四、四、MCMC方法分类方法分类直接方法－模拟可分解为各个独立过程的随机性事件2012-9-2010西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础简单抽样－均匀分布随机数根据如何选择数值积分的随机数根据如何选择数值积分的随机数重要抽样－采用与所研究问题和谐一致的分布，在被积函数的大值区域使用大的权重因数，反之采用小的权重因数。按抽样技术，又可分为空间晶格模型、自旋模型和（在能量算符中含有各种相关参量的）能量算符方法。2012-9-2011西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础五、量子蒙特卡罗法(QMC)量子力学领域的蒙特卡罗法量子力学领域的蒙特卡罗法路径积分蒙特卡罗法、量子自旋蒙特卡罗法、投路径积分蒙特卡罗法、量子自旋蒙特卡罗法、投影蒙特卡罗法、变分蒙特卡罗法、格林函数蒙特影蒙特卡罗法、变分蒙特卡罗法、格林函数蒙特卡罗法等卡罗法等如，用蒙特卡罗法求解量子力学的哈密顿量算符如，用蒙特卡罗法求解量子力学的哈密顿量算符的本征值和本征态的本征值和本征态2012-9-2012西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础在热平衡情况下，对于用极限概率分布表征的特定统计系综，可生成系统状态。六、六、MetropolisMetropolis蒙特卡罗蒙特卡罗化学组分恒定的系统（正则、微正则和等温等压系综）中，其概率分布是系统哈密顿量的函数一种权重方法化学组分变化的系统（巨正则系综）中，概率分布是其化学势的函数。2012-9-2013西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础磁自旋系统模型化的伊辛晶格模型扩展为动力学多态波茨晶格模型MCMC方法的进展方法的进展引入广义自旋和动力学规则，可以模拟微结构随时间的演化。传统的MC方法局限于对态函数值的时间不相关预测，2012-9-2014西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础MonteCarlo模拟在物理研究中的作用2012-9-2015西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础MonteCarlo模拟的步骤：1.根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；2.从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模拟结果；3.对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。2012-9-2016西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础随机变量(以下用ξ表示)可分为两类,一类是离散型随机变量,可以取一系列分立值x1,x2,L,xn,L,其对应的取某一值的几率为p1,p2,L,pn,L.pi称为ξ的几率分布;随机变量及其分布2012-9-2017西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础另一类是连续型随机变量,ξ可连续取值,设ξ在区间[x,x+δx]内取值的几率为p(xξx+δx),令f(x)称为ξ的分布几率密度,而ξ处于区间[a,b]内的几率由下式给出随机变量及其分布2012-9-2018西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础几率应归一化,即对离散型随机变量对连续型随机变量定义分布函数代表ξ处于[-1,x]的几率.显然,随机变量及其分布2012-9-2019西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础随机变量的数学期望定义为或方差定义为或随机变量及其分布2012-9-2020西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础设ξ1,ξ2,L,ξn,L为一随机变量序列,相互独立,具有同样分布,且E(ξi)=a存在,则对任意小量ε0,有这一定理指出,不论随机变量的分布如何,只要n足够大,则算术平均与数学期望值可无限接近,也就是说,算术平均以几率收敛于其数学期望值.大数定理2012-9-2021西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础设ξ1,ξ2,L,ξn,L为一随机变量序列,相互独立,具有同样分布,且E(ξi)=a,D(ξi)=σ2存在,则当n!1时,推论:令:成立的几率为1-α,(A)1-α称为可信水平.中心极限定理2012-9-2022西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础α,1-α和Xα的数值关系α0.50.050.020.011-α0.50.950.980.99Xα0.67451.96002.32632.5758由表可见,当Xα=2.5758时,(A)成立的几率已经为99%,也就是说,该式的可靠性已相当高.2012-9-2023西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础构造一个过程,从系统的某一微观状态出发,并在过程的每一步转移到一个新的状态.为了确定起见,下面用xi代表系统的微观状态,如果从x0出发,则这一过程产生一系列状态x1,x2,L,xi,L,这一系列状态构成一个链.Markov过程,是指在过程的每一步所达的状态只与前一状态有关,从一状态r到另一状态s的转移通过一转移几率w(xr!xs)来实现.由Markov过程产生的一系列状态所构成的链称为Markov链.Markov链2012-9-2024西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础为了实现按照正则分布抽样,我们可以构造这样一个Markov链,使得无论从何状态出发,存在一个大数M,在丢掉链的前面M个状态后,链上其余的状态满足正则分布.Markov链2012-9-2025西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础只要取w(xr!xs)满足如下条件,就可达到要求.式中P(x)为所要达到的分布,为正则分布.又称为细致平衡条件.为了证明上式,考虑很多个平行的Markov链,在一个给定的某一步,有Nr个链处于第r个态,Ns个链处于第s个态.Markov链2012-9-2026西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础在下一步从r态到s态的数目为从s态到r态的数目为从r态到s态的净转移的数目为Markov链2012-9-2027西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础若w(xr!xs)满足细致平衡条件,则上式成为这是一个十分重要的结果,上式表明,如果二个状态之间不满足正则分布,则这一Markov过程的演化结果将总是使其趋于满足.这样,就证明了我们的论断.Markov链2012-9-2028西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础选择一个满足细致平衡条件的转移几率;产生一个Markov链,丢掉链的前而面M个状态;用其余状态进行物理量的计算.由Metropolis提出,一般称为Metropolis算法.考虑从r态到s态的转移,若二状态的能量差为则:正则分布的抽样方法:2012-9-2029西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础当年Metropolis选择:Metropolis算法2012-9-2030西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础目前常用:w的选择并不唯一,只要满足细致平衡条件的要求,不同的w收敛速度往往差别很大,如何选择合适的w，以达到尽可能快的收敛速度和尽可能高的计算精度，仍然是当前MonteCarlo算法研究的前沿课题之一.Metropolis算法2012-9-2031西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础Potts模型其中的求和对近邻格点对进行。σi可以取值1,2,…q,当q=2时，对应于Ising模型。对于二维晶格，q5时，系统具有二级相变，当时，系统具有一级相变。对于三维晶格，当时为一级相变。2012-9-2032西北工业大学材料学院陈铮硕士生学位课计算材料学基础Potts模型在转变的q处(q=3(3D),q=