第5章 杆件的应力与强度计算

第5章杆件的应力与强度计算第一节变形固体及其基本假设一、变形固体工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。在静力学中，由于研究的是物体在力作用下平衡的问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很小的，可以作为次要因素忽略。因此，认为物体在外力作用下，大小形状都不发生变化，而把物体视为一个刚体来进行理论分析。在材料力学中，由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性的问题。对于这类问题，即使是微小的变形往往也是主要影响的因素之一，必须予以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中，必须将组成构件的各种固体视为变形固体。变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，不能消失的变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时，塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。二、变形固体的基本假设变形固体有多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列的几个基本假设。1．均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并且各处的材料力学性能完全相同。实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于这些空隙与构件的尺寸相比是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，所以，物体的力学性能并不反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值。因而可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。有了这个假设，物体内的一些物理量，才可能是连续的，才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。2．各向同性假设假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在以构件为对象的研究问题中，就可以认为是各项同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认为是各向同性的材料。根据这个假设当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其它方向。在工程实际中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的强度或其它的力学性质都是各不相同的。因此，对于由各向异性材料制成的构件，在设计时必须考虑材料在各个不同方向的不同力学性质。3．小变形假设在实际工程中，构件在荷载作用下，其变形与构件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不计，所以在研究构件的平衡和运动时，可按变形前的原始尺寸和形状进行计算。在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略不计。这样，使计算工作大为简化，而又不影响计算结果的精度。总的来说，在材料力学中是把实际材料看作是连续、均匀、各向同性的弹性变形固体，且限于小变形范围。第二节杆件变形的基本形式作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。一、轴向拉伸和轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。这种变形称为轴向拉伸（图5－1（a））或轴向压缩（图5－1（b））。二、剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切（图5－1（c））。三、扭转在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图5－1（d））。四、弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图5－1（e））。在工程实际中，杆件可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但却可看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。本书以下几章中，将分别讨论上述各种基本变形，然后再讨论组合变形。第三节轴向拉伸和压缩时的内力一、轴向拉伸和压缩的概念在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压缩的杆件，例如图6－1所示的桁架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图6－2所示起重架的1、2杆和做材料试验用的万能试验机的立柱。作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或缩短。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。二、内力的概念我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。三、截面法·轴力·轴力图求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图6－3（a）的拉杆m－m横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面m－m截开，取左段为研究对象图6－3（b）。由于整个杆件是处于平衡状态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件0X可知，截面m－m上的分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且PN，其指向背离截面。同样，若取右段为研究对象图6－3（c），可得出相同的结果。对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面m－m上的轴力N，其指向如图6－4所示。把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号N表示。背离截面的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定：拉力为正，压力为负。轴力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法。综上所述，截面法包括以下三个步骤：（1）沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部分。（2）取出任一部分为研究对象，并在截开面上用内力代替弃去部分对该部分的作用。（3）列出研究对象的平衡方程，并求解内力。【例6－1】杆件受力如图6－5（a）所示，在力1P、2P、3P作用下处于平衡。已知kN251P，kN352P，kN103P，求杆件AB和BC段的轴力。【解】杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将不相同，因此要分段求出杆的力。（1）求AB段的轴力用1－1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（b）），截面上的轴力用1N表示，并假设为拉力，由平衡方程0X011PNkN2511PN得正号，说明假设方向与实际方向相同，AB段的轴力为拉力。（2）求BC段的轴力用2－2截面在BC段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（c）），截面上的轴力用2N表示，由平衡方程0X0122PPNkN103525212PPN得负号，说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力为压力。若取右段为研究对象（图6－5（d）），由平衡方程0X032PNkN1032PN结果与取左段相同。必须指出：在采用截面法之前，是不能随意使用力的可传性和力偶的可移性原理。这是因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，并使内力也随之改变。如将上例中的2P移到A点，则AB段将受压而缩短，其轴力也变为压力。可见，外力使物体产生内力和变形，不但与外力的大小有关，而且与外力的作用位置及作用方式有关。当杆件受到多于两个的轴向外力作用时，在杆的不同截面上轴力将不相同，在这种情况下，对杆件进行强度计算时，必须知道杆的各个横截面上的轴力，最大轴力的数值及其所在截面的位置。为了直观地看出轴力沿横截面位置的变化情况，可按选定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大小，绘出表示轴力与截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。画图时，习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。【例6－2】杆件受力图6－6（a）所示。试求杆内的轴力并作出轴力图。【解】：（1）为了运算方便，首先求出支座反力。根据平衡条件可知，轴向拉压杆固定端的支座反力只有R图6－6（b），取整根杆为研究对象，列平衡方程0X04321PPPPRkN25254060204321PPPPR（2）求各段杆的轴力在计算中，为了使计算结果的正负号与轴力规定的符号一致，在假设截面轴力指向时，一律假设为拉力。如果计算结果为正，表明内力的实际指向与假设指向相同，轴力为拉力，如果计算结果为负，表明内力的实际指向与假设指向相反，轴力为压力。求AB段轴力：用1－1截面将杆件在AB段内截开，取左段为研究对象（图6－6（c）），以1N表示截面上的轴力，由平衡方程0X01NRkN251RN（拉力）求BC段的轴力：用2－2截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（d）），由平衡方程0X012PNRkN45252012RPN（拉力）求CD段轴力：用3－3截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（e）），由平衡方程0X0123RPPNkN15602520213PRPN（压力）求DE段轴力：用4－4截面将杆件截断，取右段为研究对象（图6－6（f）），由平衡方程0X044NPkN254N（拉力）（3）画轴力图以平行于杆轴的X轴为横坐标，垂直于杆轴的坐标轴为N轴，接一定比例将各段轴力标在坐标轴上，可作出轴力图，如图6－6（g）所示。第四节梁的弯曲(平面弯曲)一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。图9-1受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁图9-2工程中常见的受弯构件的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。图9-3梁常见的截面形状对图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a）。2．简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b）。3．外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c）。(a)(b)(c)图9-5三种静定梁三、梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。(一)、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6a所示为一简支梁，荷截F和支座反力RA、RB是作用在F(a)(b)QFQ(c)图9-6用截面法求梁的内力