刚体的复杂运动分解

1§9–1刚体平面运动的概述§9–2平面运动分解为平动和转动·刚体的平面运动方程§9–3平面图形内各点的速度§9–4平面图形内各点的加速度·加速度瞬心的概念习题课第九章刚体的平面运动2刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．§9-1刚体平面运动的概述一．平面运动的定义在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．3例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动．4请看动画5二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．6§9-2平面运动分解为平动和转动·刚体的平面运动方程一．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S的位置决定于三个独立的参变量．所以,,AAyx7二．平面运动分解为平动和转动当图形Ｓ上Ａ点不动时（x,y坐标已定），则刚体作定轴转动当图形Ｓ上角不变时（x,y坐标已定），则刚体作平动．故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．平面运动方程)(1tfxA)(2tfyA)(3tf对于每一瞬时t，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了(平面刚体有3个自由度)。,,AAyx8例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系Axy)相对静系的平动（牵连运动）车轮相对车厢（动系Axy）的转动（相对运动）9我们称动系上的原点Ａ为基点，于是车轮的平面运动随基点A的平动绕基点A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．10再例如:平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II1.以A为基点:随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'2.以B为基点:随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA'B''A''B'，于是有21122121212010,;,limlimdtddtdtttt11所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点)12曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解（请看动画）13§9-3平面图形内各点的速度根据速度合成定理,reavvv则Ｂ点速度为：BAABvvv一．基点法（合成法）取B为动点,则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成,,ABAB方向大小,vv;vv;vvBArAeBa已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：指向与转向一致．取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。AvBv14由于A,B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有，因此将上式在AB上投影，有BAABvvvABvBAABAABBvv—速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为速度投影法．即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．二．速度投影法15三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）1.问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？所以反向恰与方向.,,AAPAvPAvAPv0Pv２．速度瞬心的概念平面图形S，某瞬时其上一点A速度,图形角速度，沿方向取半直线AL,然后顺的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长度则：/AvAPAvAvPAAPvvv16即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法①已知图形上一点的速度和图形角速度，可以确定速度瞬心的位置．（P点）且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．,,AAvAPvAPAvAv②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．17ABvvvvaBABA,)(同向与ABvvvvbBABA,)(反向与④已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且BAvv,ABvABvBA,(b)(a)③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且过A,B两点分别作速度的垂线,交点P即为该瞬间的速度瞬心.BAvv,BAvv不平行BAvv,18另：对④种(a)的情况，若vA＝vB，则也是瞬时平动．⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)19例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．此时连杆BC的图形角速度，BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．设匀，则)(2ABaanBB而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同cacBaa0BC20４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向与一致。APvA５.注意的问题速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。21解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。基点法（合成法）研究AB，以A为基点，且方向如图示。,lvAllABvllvvllvvBAABABAAB//45tgtg)(245cos/cos/（）[例1]已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．根据,BAABvvv在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。22)(2//,lBPvllAPvlAPlvABBAABA（）试比较上述三种方法的特点。ABAABBvv根据速度投影定理cosBAvv)(245cos/cos/llvvAB不能求出AB速度投影法研究AB,,方向OA,方向沿BO直线lvABv速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心BAvv,23§9-4平面图形内各点的加速度加速度瞬心的概念取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．nBABABArAeBaaaaaaaaa;;于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式．reaaaanBABAABaaaa一.基点法(合成法)已知：图形S内一点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。Aa24其中：，方向AB，指向与一致；，方向沿AB，指向A点。ABaBA2ABanBA即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。nBABAaa,nBABAABaaaa25nBABAaa,二．加速度瞬心．由于的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．QAaAa0Qa[注]一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式.即一般情况下,图形上任意两点A,B的加速度ABBABAaa若某瞬时图形=0,即瞬时平动,则有即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．ABBABAaa26由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．分析：大小？√ＲＲ2方向？√√√故应先求出．nPOPOOPaaaaRvO/（）[例1]半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度．OvOa解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，27由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而RadtdvRdtdOO1（）由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．以O为基点，有其中：做出加速度矢量图，由图中看出：（与等值反向）即nPOPOOPaaaaRvRvRRaaRaOOnPOOPO222)(,nPOPaaOaPOa)(/2RvaOP28解：(a)AB作平动，),(,nBnABABABAaaaaaavvBOAOBOaAOaBOvAOvBABA2122112211;/,/;/,/而又.;2121[例2]已知O1A=O2B,图示瞬时O1A/O2B试问(a),(b)两种情况下1和2，1和2是否相等？(a)(b)29(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时BAABvv,021221121,/,/,BOvAOvBOAOBAABnBABBABnAABAABBABAaaaaaa,即cossincossin2222221111BOBOAOAOBAaaAB作瞬时平动时并由此看出即,ctg221211230[例3]曲柄滚轮机构滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．翻页请看动画31请看动画32解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：rad/s32153/30/1APvAAB（）cm/s30215rad/s230/6030/OAvnAP１为其速度瞬心)(cm/s3203215321ABBBPv分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB,aBP2P1vBP2为轮速度瞬心33取A为基点，2222cm/s60)2(15OAaA指向O点nBABAABaaaa),3320)32(153(222BAABaABnBA沿大小？√？√方向√√√√作加速度矢量图，将上式向BA线上投影nBABaa0030cos)(cm/s5.13134023