刚体的质心

第七章刚体力学（Chapter7Mechanicsofarigidbody）前言刚体运动的描述刚体的动量和质心运动定理刚体定轴转动的角动量•转动惯量刚体定轴转动的动能定理刚体平面运动的动力学刚体的平衡自转与旋进§1前言一、本章的基本内容及研究思路前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动）→刚体静力学（对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不使刚体的状态产生变化的条件）→刚体三维运动。研究刚体力学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点，叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。这是刚体力学研究的基本方法。二、本章的基本要求1.理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速度和角加速度）并掌握角量与线量的关系；2.理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量；3.掌握刚体定轴转动的动力学规律；4.了解刚体平面平行运动的特点。三、本章的思考题及练习题1.思考题：在教学过程中布置；2.练习题：7.1.57.2.37.3.67.4.27.5.27.5.47.5.77.6.1§2刚体运动的描述刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运动变化的原因，只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算完整描述了刚体的运动。一、刚体的平动如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞的往返等都是平动。ijijijijijijdtddtddtddtdaavvrrrrrrr,?)(2222即为什么Ojiirjrijr由于i，j是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想到一个代表性的质元——质心。二、刚体的转动如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径r与Ox轴间的夹角θ就能完全确定在空间的位置，称为角坐标，规定逆时针方向转动的为正，顺时针方向为负。——刚体绕定轴转动的运动学方程。转动平面参考方向转轴xzPrθO不同位置质元在时间内的角位移都相同，可见，描述的是整个刚体转过的角度，故称为刚体转动的角位移。tdtdtt0lim式中称为刚体转动角速度。面对z轴观察，，刚体逆时针转动；，刚体顺时针转动。00220limdtddtdttt式中称为刚体定轴转动的角加速度。与的符号相同时，刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。注：对轴外所有各质点在同一时间间隔内走过的弧长不同，即各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同，但各个质点角位移，角速度、角加速度（角量）都相同。由转动平面图很容易得到线量与角量的关系。trararvrSn2,可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。三、角速度矢量对于刚体定轴转动，只有“正”“反”两种转动方向，通过的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转轴的方位，可以统一地用角速度矢量来描述。的大小是，ωωdtd的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用将刚体上任一质点P的速度表示为。ωωvrωvωvrvrω原点不在圆心的情况作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：dtdωβ原点在圆心的情况角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为kjiβkjiωzyxyzx,其中dtddtddtdzyyxx,,刚体作定轴转动时，可令z轴与转轴重合，则，故。前文定轴转动中讲到的和正是这里的与，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转轴（即z轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，均附以角标。四、刚体的平面运动刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与0yxkβkωzz,ωzz固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时候，其实指的就是这种剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点的运动”区分开来。建立坐标系O-xyz，使平面图形在Oxy面内，如图所示，z轴与纸面垂直，在平面上任选一点B，称作基点，其位置矢量为还不足以确定刚体位置，因平面图形还可绕B点转动。建立以基点B为原点，坐标轴与O-xyz系各相应轴保持平行的坐标系。若能指出平面图形绕B点或刚体绕轴转动的角坐标，即图中任意点A的位置矢量与轴的夹角，刚体位置便可BBrr,zyxBzrxBxxyyBrrAOAr唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出)()(),()(,)()()(ttyytxxttytxtBBBBBBBBjirr和或即需要三个标量函数才能描述刚体的平面运动，与反映任意选定的基点的运动，刻划刚体绕通过基点轴的转动，在运动学中，基点的选择是任意的。)(txB)(tyB)(t现在来研究刚体位置的改变。在时刻t，刚体的位置为ABC；过了一些时间，到了时刻，刚体的位置变为。刚体位置的改变可以这样来描述：刚体先随基点A平动，位移为，再绕基点A转一定的角度。AdCdABCCBAttCBAAd既然基点的选取是任意的，我们完全可以选取另一点，例如C，作为基点。刚体随C点平动，再绕C点转动。刚体随C点平动的位移不同于它随A点平动的位移，刚体绕C转动的角度则同于刚体绕A转动的角度。就图而言，不论取A点或取C点为基点，刚体都是逆时针转90°。这是毫不奇怪的，不论随A点平动或随C点平动，刚体都保持着原来的方位，将它从这种方位转到新的方位所需要转过的角度自然是一定的。令，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚体随着基点A以速度平动（即基点A的速度），并以角速ω绕基点A转动，平动的速度即基点的速度，与基点的选取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。下面讨论作平面运动的刚体上任一点的速度，以A点为例：CdAd0tAvAvvrωvvvvvrrrBBABA此即作平面运动的刚体上任一点的速度公式。在每一瞬时，刚体中总有这么一点，其即时速度为零。既然基点的选取是任意的，我们当然可以选速度为零的这一点C为基点，此时刚体的运动情况的描述颇为简便，其它各点只是简单绕这基点转动。C点称为瞬时转动中心，通过C点而垂直于所研究剖面的直线称为瞬时转动轴线。怎样寻找瞬心？1、只要知道刚体内任意两点的瞬时速度的方向，即可找到瞬心；2、有些情况，一眼就可看出。例如行驶中的车轮，若不滑动，则轮的着地点的即时速度为零（如果不为零，则着地点必相对于地面滑动）。在每一瞬时，轮都是绕着其着地点转动。轮心的速度为这就是滚动着的物体不“打滑”的运动学判据。Rv转动中心也可能在刚体的外面，可这样理解：这个在刚体外面的瞬心好象刚性地联结于刚体，而刚体则瞬时地绕它转动。思考题：若刚体车轮在地面上不作纯滚动，试判断轮与地面的滑动摩擦力方向。设轮的半径、角速度和质心的速度分别为cvR和,RωcvR§3刚体的动量和质心运动定理动量是物理学中重要的守恒量，现将它运用于刚体。质点系的动量可表示为。刚体为不变质点系，此二式仍适用。但因刚体内任意二质点距离不变，故质心相对于刚体的位置亦不变，对刚体说，用表示动量更方便。现在先研究刚体质心，再讨论有关动量的规律。一、刚体的质心对于质点系，我们已经知道其质心坐标为ciimmvpvp或cmvpmzmzmymymxmxiiciiciic,,对于刚体当然适用，一般而言，刚体的质量是连续分布的。vvcvvcvvcdmzdmzdmydmydmxdmx,,积分遍及刚体体积V，),,(,zyxdVdm分几种情况：1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质心；3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体的质心。[例题]在半径为R的均质等厚度的大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。[解]建立如图所示的坐标系，考虑对称性，余下部分质心一定在x轴上，即按第2种情况考虑：整体=阴影+小圆，得0cy6412430222RxRRRRxccOxy[例题]半圆形均匀薄板（半径为R），试求其质心所在。xyyRO[解]建立如图所示的坐标系，由对称性可知xc=0,yc=?将半圆划分为许多平行于x轴的窄条，每一窄条中各点具有相同的y，阴影部分面积dyyR22234232)(coscos222)2(2321023sin202222RRRRdRRdyyRydmdyyRydmydmyRyRc令质点组质心的位置完全可以不与组内任一质点的位置重合；刚体质心的位置也就完全可以不与刚体内任一质点的位置重合，换句话说：刚体的质心完全可以在刚体之外！（如右图所示）C1C2C由以上例子可看出，求质心时需建立适当的坐标系，令坐标轴沿对称轴且令原点位于其中某一部分质心处往往带来方便。二、刚体的动量与质心运动定理质点系所受外力矢量和为零，则动量守恒。刚体受到的外力矢量和为零，动量当然也守恒，即p=mvc=恒矢量。将质心运动定理用于刚体，亦有ccimdtdmavF表示外力矢量和，ac为质心加速度。iF§4刚体定轴转动的角动量•转动动能与转动惯量一、刚体定轴转动的角动量OizririLiimiiRz考察绕固定轴转动的刚体在某瞬时对轴上某定点O的角动量。)cos()(2iiiiiiiziiiiiiiziiiiiωmRrmmmmmrωvrvrvrrvRL总角动量为所有质元角动量的矢量和。第一项求和为：，方向与相同；第二项求和为：方向与垂直。由此可见，一般与并不同方向。的大小与成正比，方向与的夹角保持不变，且随着刚体一起以角速度绕轴旋转。但当固定轴为刚体的对称轴时，对每一个，在与轴对称处必有一个相应的，使若取，则，因而第二项为零，于是有，这时与同方向。当与同方向时的转轴称为刚体的惯量主轴。ziirmLω)(2ωhiiiiRmLr)cos(ωLωLωimjmjjjiiiRRrrcoscosjimm