12非正弦周期电流电路和信号的频谱

第12章非正弦周期电流电路和信号的频谱§12-1非正弦周期信号§12-2周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数§12-3有效值、平均值和平均功率§12-4非正弦周期电流电路的计算非正弦电压或电流§12-1非正弦周期信号1、概念线性电路中，当有一个正弦电源作用或多个同频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流都是同频的正弦量。但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正弦规律变动的电源和信号。此时电路中将产生非正弦的电压和电流。线性电路同频正弦电源非正弦信号几个例子：实际的交流发电机发出的电压波形；收音机、电视机收到的信号电压或电流；应用于自动控制、计算机等技术领域的脉冲信号。同频正弦稳态响应非线性电路激励非正弦电压或电流另外，如果电路中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦的电压和电流。非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本章主要讨论在非正弦周期电压、电流或信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。2、非正弦周期电流、电压波形OtiT脉冲波形方波电压OtuTOtuT2T锯齿波3、谐波分析法线性电路在非正弦周期量作用下的稳态分析方法：首先应用傅里叶级数(Fourier)展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。非正弦周期量(激励)不同频率正弦量的和各个正弦量单独作用下的响应分量非正弦稳态量(响应)Fourier正弦稳态分析叠加定理？谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。谐波分析法示意图：§12-2周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数周期电流、电压信号等都可用一个周期函数f(t)=f(t+kT)来表示，式中T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，…。若f(t)满足狄里赫利条件，则可展开为收敛的傅里叶级数：)]sin()cos([)(11110tbtaatf)]2sin()2cos([1212tbta)]sin()cos([11tkbtkakk1110)]sin()cos([kkktkbtkaa其中各个系数按下式求解：22)(1)(100TTdttfTdttfTaTTkdttktfTa01)cos()(222)cos()(21TTdttktfT2011)()cos()(1tdtktf)()cos()(111tdtktf,3,2,1kTkdttktfTb01)sin()(222)sin()(21TTdttktfT2011)()sin()(1tdtktf)()sin()(111tdtktf,3,2,1k1110)]sin()cos([)(kkktkbtkaatf工程上傅里叶级数常用另一种形式：)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm)cos(1kkmtkA110)cos(kkkmtkAA)sin()cos(11tkbtkakk)]sin()cos([12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk)cos(1kkmtkA,3,2,1k)sin()cos(11tkbtkakk)]sin()cos([12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk)cos(1kkmtkA22kkkmbaAkmkAacoskmkAbsin)/arctan(kkkab比较可知00aAT/211110)]sin()cos([)(kkktkbtkaatf110)cos()(kkkmtkAAtf周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量))cos(111tAm0A称为1次谐波(或基波分量)，它的周期(或频率)与原函数f(t)相同。其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、…谐波。为了直观地表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量所占的“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，这样得到的图形称为该周期函数的幅度频谱(图)。由于各谐波的角频率是基波频率的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为有线频谱。OkmA1k112131415如果把各次谐波的初相用相应的线段依次排列，那么得到的频谱称为相位频谱。本书中频谱专指幅度频谱。例12.1求图示周期性矩形信号f(t)的傅里叶级数展开式及其频谱。Of(t)TT/22t1tEm-Emf(t)在第一个周期内的表达式为解：f(t)=Em0≤t≤(T/2)f(t)=－Em(T/2)≤t≤T则0)(100TdttfTa2011)()cos()(1tdtktfak011)()cos(1tdtkEm211)()cos(1tdtkEm0)()cos(2011tdtkEm2011)()sin()(1tdtktfbk011)()sin(1tdtkEm211)()sin(1tdtkEm011)()sin(2tdtkEm01)]cos(1[2tkkEm)]cos(1[2kkEm为奇数为偶数kkEkm40])5sin(51)3sin(31)[sin(4)(111tttEtfm因此可得])5sin(51)3sin(31)[sin(4)(111tttEtfm－EmEmf(t)t1Akm1kO1131517mE434mE54mE74mE谐波合成频谱利用函数的对称性计算傅里叶级数展开式中的系数1.f(t)=f(－t))()sin()(111tdtktfbk011)()sin()(1tdtktf011)()sin()(1tdtktf011)()sin()(1tdtktf011)()sin()(1tdtktf011)()sin()(1tdtktf011)()sin()(1tdtktf0偶函数，关于纵轴对称Of(t)－T/2tT/22.f(t)=－f(－t))()cos()(111tdtktfak011)()cos()(1tdtktf011)()cos()(1tdtktf011)()cos()(1tdtktf011)()cos()(1tdtktf011)()cos()(1tdtktf011)()cos()(1tdtktf0奇函数，关于原点对称Of(t)－T/2tT/23.022kkba奇谐波函数，镜对称)()(2TtftfOf(t)－T/2tT4.任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和：)()()(tftftfoe其中)]()([21)(tftftfe)]()([21)(tftftfo偶函数奇函数三角函数系及其正交性1、三角函数系,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间],[上的积分等于零。2、三角函数系的正交性0cosnxdx0sinnxdx),3,2,1(n),3,2,1(n0cossinnxdxkx),3,2,1,(nk0coscosnxdxkx),,3,2,1,(nknk0sinsinnxdxkx),,3,2,1,(nknk§12-3有效值、平均值和平均功率1、有效值对任何一个周期电流i的有效值I定义为TdttiTI02)(1设非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数110)cos()(kkkmtkIIti将i代入有效值公式，则得此电流有效值为均方根TkkkmdttkIITI02110])cos([1TkkkmdttkIITI02110])cos([1上式中的平方项展开后将含有下列各项：200201IdtITT2201222/)(cos1kkmTkkmIIdttkIT0)cos(21010TkdttkIT0)cos()cos(21011TqqmkkmdttqItkIT)(qk则i的有效值为122023222120kkIIIIIIIi的有效值为122023222120kkIIIIIII即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。110)cos()(kkkmtkUUtu122023222120kkUUUUUUU则其有效值为此结论可以推广用于其他非正弦周期量。如果非正弦周期电压的表达式为2、平均值以电流i为例，其定义如下：dtiTITav0||1即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。正弦电流的平均值为dttTIdttITITmTmav4/00)cos(4|)cos(|1IItTImTm898.0637.0)][sin(44/0它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。3、测量仪表的使用对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。磁电系仪表(直流仪表)恒定分量TidtT01电磁系仪表有效值TdtiT021全波整流仪表平均值TdtiT0||14、非正弦周期电流电路的平均功率N+_ui110)cos()(kkkmtkUUtu110)cos()(qiqqmtqIIti则任意一端口吸收的瞬时功率为])cos(][)cos([110110qiqqmkukkmtqIItkUUuip11011000)cos(])cos(kukkmqiqqmtkUItqIUIU1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU该一端口吸收的平均功率定义为TdttpTP0)(111011000)cos(])cos(kukkmqiqqmtkUItqIUIUp1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU经分析可知dttkItkUTIUPkTikkmukkm101100)]cos()cos([122211100coscosIUIUIU其中2/2/kmkkmkIIUUikukk,3,2,1k结论：非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。注意：1)不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。2)对一个电路来说，不同频率的电源产生的功率满足可加性。同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。5、其他问题1)非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，不予讨论。2)非正弦周期电流电路视在功率的定义UIS例12.2Ati)603cos(3o1Ati)453cos(3o3Ati)30cos(245o2已知：N1i2i3iiA求：电磁系电流表的读数。解：321iiiiAttt)453cos(3)603cos(3)30cos(245oooo1