计量经济学-10时间序列分析

我们对经济量进行分析的最终目的，是为了预测某些经济变量的未来值。进行预测的方法有两种。一种是根据一定的经济理论，建立各种相互影响的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关变量的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准确。第十章时间序列分析另一种方法是利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值，而不考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方法在短期预测方面是很成功的。一、确定性时间序列模型（一）移动平均模型NtNyyyyyyyyNtttttT,ˆ,,12121平均数对于时间序列：，并用于趋势预测。显示序列的趋势性变化是消除干扰，移动平均模型主要作用动平均模型。该表达式的模型称为移的移动平均数序列。称为时间序列ty（二）加权移动平均模型0112210110ˆ,,()/1tttNtNttNNiiayayayayytNNyaaaaN平均数称为时间序列的加权移动平均数序列。其中,,为加权因子：确。取，是趋势预测更加准还可通过加权因子的选示序列的趋势变化外，其作用除消除干扰、显权移动平均模型，该式表达的模型称为加（三）二次移动平均模型对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均，即：平均模型。的模型称为二次移动平均数序列，该式表达的二次移动为时间序列由此构成的序列程tNtttttNtNyyyyyy,ˆˆˆˆˆˆ121（四）指数平滑模型如果采用下式求得序列的平滑预测值：的值。和最小为原则确定预测值之差的平方测值序列。以实际值与带入模型，计算预的选择：选择不同的育预测值的加权和。即预测只是前期实际智）（该式也可写为。称为平滑常数，其中平滑模型，则称此预测模型为指数11111ˆ1ˆ10)ˆ(ˆˆtttttttyyyyyyy（五）二次指数平滑模型在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型。二、随机时间序列模型的特征（一）随机过程（stochasticprocess）一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1，y2，…，yT，称为一个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1，Y2，…，YT的实现，而随机变量Y1，Y2，…，YT是无穷随机变量序列Yt0，Yt0+1，…，Y1，Y2，…的一部分(其中t0可以是-)。这个无穷随机变量序列Yt，t=1，2，…，称为一个随机过程。一个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列et称为白噪声(whitenoise)。如果et服从正态分布，则称为高斯白噪声。例如，一个一阶自回归过程：，ttteYY1是白噪声：te,11)(0),cov(,0)var(,0)(tseeeeEstett且假定改随机过程的起点为t0=-∞，可以证明E(Yt)=0，var(Yt)=σy。这里每个随机变量的取值都依赖于其前期水平，这是依据现在和过去的观测值预测未来值的基础。因此，度量时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列特性描述方面非常重要。（二）自协方差函数和自相关函数自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。11cov(,)([()][()])cov,cov(,)([0][0])cov(,)()tttkttktttktktttttttkYttkttkYYYYYEYEYYEYautoarianceYYeYYEYYkYYEYY一个随机过程的两个元素和之间的协方差为：称为自协方差（）协方差度量了单一随机过程两个元素之间的线性依赖关系。对于协方差对于非负整数，有111112221[()]()()()[()]()ttktkttktkttkttktkttkkYEYYeEYYEeEYYEYYeEYY。的自协方差函数随机过程）称为，，。自协方差序列且的函数是时间间隔。表示可以用，因此之间的时间间隔仅依赖于两个随机变量，不依赖于时点是时间不变量，这里)cov(21(,),cov(),cov(functionarianceautoYkkYYktYYtkkkkkttkkttY可以得到自相关函数除以随机过程的方差每个将自协方差标准化：把同：美分计量的自协方差不例如，工资按美元和按的计量单位。本质上依赖于随机变量自协方差函数,),(E10000)100,100(E),(E0YkkttkttkttkYYYYZZ。对于：,2,1,,,2,1,0,),(22010keYYkACFfunctionationautocorrelkYYkkktttkk由于只有随机过程的样本，只能根据样本数据计算出样本自相关函数（Sampleautocorrelationfunction)：020ˆˆˆ)ˆ))(ˆkktkttknYYnYYYY样本自相关函数：（样本方差（样本协方差（三）平稳随机过程并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔，且具有常数均值和有限方差的随机过程，称为平稳过程(stationaryprocess)：kkttkttttYYEYYYYE)])([(),cov()3()var(2)()1(）（）也是一个平稳过程。（而个平稳过程，显然，白噪声过程是一1||1ttteYY如果随机过程不满足上述条件，则称为非平稳随机过程。平稳随机过程产生的时间序列，为平稳序列。平稳性是时间序列的一个重要的特性，它保证了随机过程基本上没有结构变动，而结构变动会给预测带来困难，甚至不可预测。（四）平稳性的检验1、博克斯-皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增大而衰减，因此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳性。为非平稳序列。同时为零的假设，序列则拒绝平下的临界值，统计量大于一定显著水如果计算的分布。的遵循自由度为统计量近似（大样本）为滞后长度。为样本容量，其中统计量定义为：kmkkmQmnnQQQ,ˆ2122、单位根检验（Unitroottest)考虑以阶自回归模型：则存在单位根。。若是否显著等于，检查作回归可对非平稳时间序列。因此，则为白噪声。如果其中11ˆ1e,1t1tttttteYYeYY11(1)0t1)tttttkYYeYetDFDF或者对其一阶差分后的形式：进行估计，检验是否显著为。由于按通常方式计算的的统计量不遵从分布，将之称为统计量。通过查找统计量表，根据与临值的比较来决定是否拒绝的假设。该检验称为迪基富勒（检验。如果计算的统计量的绝对值超过临界的绝对值，则不拒绝所给时间序列是平稳的假设，反之，如果小于临界值的绝对值，则时间序列是非平稳的。项的影响。消除截距项和趋势后面的两个式子式为了，即存在单位根。原假设均为以上形式中，为时间或趋势变量。在其中0121111teYtYeYYeYYttttttttt（一）滞后算子定义滞后算子(lagoperator)L：LYt=Yt-1其中Yt和Yt-1为随机过程中的元素，而L2Yt=L[L(Yt)]=LYt-1=Yt-2一般地，对任意正整数n，有LnYt=Yt-n，L0Yt=Yt三、AR、MA、ARMA模型1(1)ttttttttYYeYLYeLYe例如，利用滞后算子可改写为：或tpptptttpppYLYYYYLLLL)(||1)(2211221简洁地写为：可以把项式：使用滞后算子表示的多（二）自回归模型（auto-regressive,AR）1、AR模型如果时间序列y1，y2，…，yT，的生成过程的形式为：ttpttppsttttptpttteYLeYLLLeetseEeeYYYY)()1(0)cov(,0)(2212211或用滞后算子可表示为：。时且为白噪声：其中估计自回归参数。由此可知，可以利用不相关。、、、与且的待估计参数。为自回归参数，是模型、、、。阶自回归模型，缩写为上式表示的模型为归序列。则称该时间序列为自回或线性函数：为它前期值和白噪声的生成的时间序列阶自回归过程，程称为具有这种形式的随机过OLSyyyeNepARpeyLLLeyyyyyppttttetpttpptptptttt212212212211),,0(~)()1(pkpkkkkpkpkkpkttpkttkttktpktpktkttkttkttktptptttrrrrryyEyyEyyEeyyYyEyyEyyreyyyyp221102211221122112211)()()()]([)(),cov(因此，自相关函数为：的自协方差函数为阶自回归序列：2、AR模型的自协方差函数和自相关函数3、AR模型的平稳性则该序列是平稳的。，的模落在单位圆外，即：解的所有根抖若多项式：过程：对于1||1)()(220210221221121zzzizzzzzzzeyyyypARppptptpttt（三）移动平均模型（MovingAverage,MA）1、MA（q)模型如果时间序列yt为它的当期和前期的误差和随机项的线性函数，即参数。参数，是模型的待估计为移动平均、、、。其中记为阶移动平均模型，为具有这种形式的模型称或用滞后算子可表示为：为移动平均序列。则称该时间序列qttpttqqtqtqttttqMAqyeLyeLLLyeeeey212212211)()()1(2、MA模型的自协方差函数和自相关函数)]()[()()1(])[()(0)()(,)(0,0)(0,0)(221122112222122221122112qktqktktktqtqtttkttqqtqtttttqtqtttttjttjtteeeeeeeeEyyEeeeeEyyEeeeeEyEeeEjeeEjeEee时，当时，而当根据0,1,00)(,)(0002202002kqiikqikiikkkttkkqikiikttkqkqkyyEqkyyEqkeee时当。其中时，当自相关函数为：时当时，当（四）自回归移动平均模型（ARMA）如果时间序列yt为它的当期和前期的误差和随机项，以及其前期值的线性函数，即tqtptpptqqtqtqtttptpttteLyLyLLLeLLLyeeeeyyyy)()()1()1(22122122112211或用滞后算子可表示为：。为自回归移动平均序列则称该时间序列型的待估计参数。为移动平均参数，是模、、、为自回归参数，、、、。其中记为，阶自回归移动平均