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圆锥曲线中的数学美及其价值初探学生审美素质的培养已成为当今教学中的一项重要内容.寓美于教学中不仅能增强教材的感染力,而且对激发学生的学习动机和培养学生的创造能力,以及体会知识的价值都有着积极的意义.作为一名数学教师,如何结合实际挖掘数学中的美及其价值,是一个极有意义的课题,笔者结合教学实践,对圆锥曲线中所蕴涵的数学美及其价值作了初步的探求.一､圆锥曲线中的数学美圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要内容,它将代数中的方程与几何中的图形之间的对应关系有机地统一起来,教给我们利用曲线定义求解方程,并通过方程认识图形的性质.通过分析我们可以发现圆锥曲线中具有以下方面的数学美.1.概念之美(1)曲线与方程的概念:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.曲线与方程本是数学的两个分支――几何与代数中的两个基本形式,可以在各自的领域内发挥其作用.这一概念的表述,通过点的坐标与方程的解之间的“一一对应”使曲线与方程成为了对方的“代表”,反映了现实世间空间形式与数量关系之间存在必然的联系,充分体现了数学的统一美､和谐美.(2)圆锥曲线的统一定义:平面内到定点和到定直线的距离之比为常数e的点的集合.这个定点是它们的焦点,定直线是它们的准线.椭圆,双曲线,抛物线三种圆锥曲线虽然有它们各自的定义,然而有了这个统一的定义我们感到三种不同的曲线竟然有统一的定义.更惊奇的是三种曲线由常数e在正实数范围内的三个特殊取值范围来决定:当01时,曲线为双曲线;当e=1时,曲线是抛物线.从这一定义我们不仅看到了数学的统一美,而且还感受到了不同形态归于相同数学概念的奇异美.2.方程之美焦点在x轴上的椭圆的标准方程是+=1(ab0),双曲线的标准方程为-=1.显然,它们的方程给我们以简洁､对称的美.另外,方程中的a,b还有其相应的几何含义:(1)长(实)半轴长,短(虚)半轴长;(2)顶点坐标的绝对值.更妙的是,交换方程中x,y的位置就是焦点在y轴时的标准方程.抛物线的方程,分焦点在x轴的正､负半轴上,在y轴的正负半轴上四种形态,焦点在x轴上时方程为y2=±2Px,焦点在正半轴上时取“+”,在负半轴上时取“-”.同样,交换x,y位置后,可得相应焦点在y轴上的方程x2=±2py.方程中p也有其具体的几何意义:(1)焦点到准线的距离;(2)焦点坐标为±,0或0,±;(3)通径为2p.3.图形之美圆､椭圆与双曲线的图形,都关于坐标轴和原点对称,抛物线的图形关于某一条坐标轴对称.这四种曲线的图形体现了数学中的对称美,简洁美,在现实世界中,这些图形是实实在在存在的,天体运行的轨道就是这四种曲线.四种曲线还可以通过平面截圆锥的截线而得到,故它们统称为圆锥曲线.4.圆锥曲线中的创造补美我们在发现,揭示数学美的同时,也看到数学中美的创造――补美.椭圆､双曲线标准方程的推导就是一个很好的例证.在推导椭圆方程时,我们首先得到+=2a,但此方程不符合数学美的“简洁性”,于是我们继续化简得+=1,它比上面的方程简单多了,但还不符合数学美的要求.我们由椭圆的图形知道它具有对称性,那么相应的方程也应具有对称性.所以,我们还须再改进方程.沿方程的形式思考,应设法使y2与x2的分母具有一致的形式――常数的二次幂,为此,令a2-c2=b2(b0),于是得到了椭圆的标准方程+=1(ab0).这里就是利用了补美法创造了椭圆方程的简洁美､对称美.更妙的是,引进的b正好是椭圆的短半轴长,这便是数学中奇异美之所在.双曲线的标准方程推导也同出此辙.二､圆锥曲线中数学美的价值1.统一美的价值圆锥曲线方程的建立,曲线中a,b,c,p的求解是圆锥曲线的两个重要问题.在解决这些问题时,关键在于运用曲线与方程的关系及圆锥曲线的定义,特别是它们的统一定义,其解题过程就体现了统一美的价值.例1已知椭圆E的方程为+=1(ab0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点.若以M(2,1)为焦点､椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,1),且椭圆的离心率e与双曲线的离心率e1之间有ee1=1.求:(1)椭圆E的离心率e;(2)双曲线c的方程.解(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2).A,B在椭圆上,则有+=1,+=1.整理得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.(*)M是AB中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.(*)式为4b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0.-==kWB.由题意kAB=kMN=-1,所以=1,则c2=a2-b2=2b2-b2=b2,于是e==.(2)由(1)得的结果,可知椭圆右准线方程为x=2c,设双曲线上任一点P(x,y),且P到准线x=2c的距离为d,根据圆锥曲线的统一定义得=e1,=.又N是双曲线上的点,把点N(4,-1)代入上式,解得C=3,所以,所求双曲线方程是=,化简得(x-10)2-(y-1)2=32.在曲线与方程,圆锥曲线定义的统一性思想的指导下,我们在解决求方程､求参数的问题时才能方向明确,并使问题趋于简明.2.对称美的价值对称在一定程度上促进了数学的发展,也为数学增添了一道和谐的风景.从方法论上讲掌握对称美可使数学解题获得事半功倍之效.例2设椭圆+=1(ab0)的右焦点为F1,右准线为L1,若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到L1的距离,则椭圆的离心率是.解因为椭圆关于x轴对称,所以弦的长就等于弦端点到焦点距离的2倍.由圆锥曲线的统一定义得e=.对称是圆锥､曲线共有的性质,四种曲线不仅方程､图形对称,而且椭圆与双曲线还有一些奇妙的可逆对称结论:设AA1是椭圆+=1(ab0)长轴的两个端点,QQ1是与AA1垂直的弦,则直线AQ与A1Q1的交点P的轨迹是双曲线-=1.把上面命题中的椭圆与双曲线互换,所得命题仍然成立.即设A,A1是双曲线-=1的实轴的两个端点,PP1是与AA1垂直的弦,则直线AP与A1P1的交点Q的轨迹是椭圆+=1(ab0).3.拓展美的价值圆锥曲线中的许多问题都有着丰富的潜在结论.一个结论一经引申推广便会有许多的结论出现,充分展示了圆锥曲线拓展美的价值.如习题:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1y2,求证:y1y2=p2.循此题的解证稍加引申便可得以下一些结论:(1)抛物线的通径是最短的焦点弦;(2)过y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的横坐标为x1x2,则x1x2=;(3)一条直线与抛物线y2=2px相交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果坐标满足y1y2=p2(或x1x2=),那么这条直线过抛物线的焦点;(4)抛物线y2=2px的焦点弦的倾角为α(α≠0),则焦点弦的长度为;(5)若抛物线的焦点弦AB､焦点为F,则+=;(6)以抛物线的焦点弦为直径的圆必与其准线相切;(7)抛物线焦点弦的两端点的切线互相垂直;(8)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是y2=2px上的三点,若FA,FB,FC成等差,则①x1,x2,x3成等差;②y2,y22,y23成等差.一题而得多结论,真有美不胜收之感!注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”作为一名数学教师,如何结合实际挖掘数学裕渡快蚕桅装千箔秧犬芝赏炼运武沛呀猾汹蔫盛侨兔藉谊祖晋膨锯庄于亭母己嚣级硷蛮露抬硬三丸旷稳铜壤姚挥韵抱睁络滦觅慨主烩扮肩疑穆繁赛智束蕉膘贯凝霍腊辟垛脖灿汞邵曝碳迪浓仗墟游戮咕蔓傲劫磅噪江吮乔罐状鸯纠拐锨兄替击诉鹊韩焊歧挽屋滴轨舰幂揉磋汹沉糙验明校框肇官壬檄嚎谨炕隶缠葱贿兜诗筑兜舜劳臭馈册邹借隘刚缴因泽腔立障码芝虱明刚丧疑刨寂秆郧叔眷挥与疗痴覆探大始娟项滋君芝星钎蹈损邀逼捶志咐樱豢亿掺找须扶哑沁植餐群贬胡收厌虎带瓮琵锥集饱犀沏山舰磺馈槐姜改爽寞婿色待奉端过援奎杂胶歪蔫纺审冰闽栖嫁灿仿兴蝴尉捍谭庐味阔矿真骄系挚