梁保松《线性代数》习题一解答(本人亲自求解)

3.确定下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性.（3）6573412；（4）)2(246)12(135nn.解（3）65734125442217，奇排列；1(11)135(21)246(2)123121,2（4）nnnnnnn当kn4或14k时，为偶排列，当24kn或34k时，为奇排列.4.下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项？（1）12432134aaaa；32414132（2）14342312aaaa；12312344不可以（3）5514233241aaaaa；4321512345（4）5512233241aaaaa.4321512325不可以5.确定下列五阶行列式的项所带的符号.（1）5541342312aaaaa；234153(1)(1)1（2）5513244231aaaaa.342151243551(1)(1)16.在函数10123()232112xxfxxxx中，3x的系数是什么？解10123()232112xxfxxxx，3x的系数是21341(1)(1)19.利用行列式的性质证明：（2）111111112222222233333333cakcblaabccakcblaabccakcblaabc；111111111222222222333111122223333111222333333331112223331112223333证ckcblacakcblacablacakcblacablacakcblacablacabcabcababcabcckcblackcblacalacalacalaabc10.计算行列式.（4）abcdadcbcdabcbad；（各行之和相等）1111100000010000000000解，abcdabcdbcdbcdadcbabcddcbdcbabcdcdababcddabdabcbadabcdbadbadbcddbbdabcddbacbdacbcddbbdabcdac（5）122222222232222n；21122212222222222201001223210100020222100200000102（解）nnn2(2)!n.（6）123123123123nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa.231123231123123231123231解nininnininnnininniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2323231231111nnnininaaaaaaaaaaaaa=)(11niina3.已知1012110311101254D，求（1）42322212AAAA；（2）41424344AAAA.122232421112110311101154AAAA=12223242MMMM41424344AAAA1012110311101111=41424344MMMM4.计算下列行列式：（1）1122331001100110011bbbbbb；解从第一行开始，依次把每一行加至下一行，得11112222323333312310010010011001001001101100100110011001110001010010001bbbbbbbbbbbbbbbbbb（2）1234111100100100aaaa，其中0ia；解第i行提出0ia，再把第i行的-1倍加到第一行，（i=2，3，4）41122422342342341233441000111110011001.1010101010011001iiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（3）1111111111111111xxxx；解4D各行元素之的和相等，将各列加到第1列，得41111111111111111111111111111xxxxxxDxxxxx再将第1列的1倍、－1倍、1倍分别加到第2列、第3列、第4列，有4(41)424100100(1)11001000xxDxxxxxxx.（4）00010002002002000000002003；解根据行列式的定义，行列式是取自不同行不同列所有n个元素乘积的代数和.该行列式只有1220022003这一项非零.而这一项2003个元素的行下标按自然顺序排列，列下标的排列为20022001212003.所以(2002)(2001)2002200121200322003(1)2003!(1)2003!2003!.D（5）2222133311441111n；解222211111111133313330222222!.11441144003311111111000nnn（6）1221100001000001nnnnxxDxaaaaa.解一按第1列展开，得111100010010010001nnnnnnxDxDaxDax，由此递推得121nnnnnnDxDaxxDaa2211212112121.nnnnnnnnnnnxDxaaxDxaxaaaxaxaxa解二将第2,3,,n列依次乘以21,,,nxxx后都加到第1列，再按第1列展开得112211010000100.0001nniniinniinnixDaxxaxaaaa5.解方程1111111101121111(1)nxDxnx.解当0,1,2,,(2)xn时,行列式有两列相同,故其值为零.因此行列式等于(1)(2),Axxxn原方程变为(1)(2)0,Axxxn故其根为1210,1,,2.nxxxn6.已知1241224()2012136xxfxxxxx，证明0)(xf有小于1的正根.证因为01241224(0)020121036f；11241124(1)020111147f，多项式()fx在0,1连续，0,1可导，故存在(0,1)，使()0f.