梁保松《线性代数》习题四解答(本人亲自求解)

第四章相似矩阵1471.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量；正确，因为若0是方阵A的一个特征值，即00EA，则方程组0()EAXo必有无穷多非零解，非零解即为A对应于特征值0的特征向量，而单独一个非零解向量线性无关，即一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量；（2）（对于同一个矩阵来说）一个特征向量只能属于一个特征值；正确，若是矩阵A对应于特征值12和的特征向量，即1A，2A，且12，从而12，即12()O.因12,故,O这与特征向量是非零向量矛盾，因此一个特征向量只能属于一个特征值.注意对于不同的矩阵来说，一个特征向量可能属于多个特征值（见（8））；（3）特征向量可以为零；错误，由定义，特征向量都是非零向量；（4）在复数域内，n阶方阵A的特征值有且仅有n个；正确，因为n阶方阵A的特征方程0EA为关于的一元n次方程，由代数基本定理，在复数域内，n次方程有且仅有n个根，即n阶方阵A的特征值有且仅有n个（5）若n阶方阵A不可逆，则必有零特征值；正确，因为若n阶方阵()Aijnna的n个特征值为12,,,n，则12An.现在120nA，则12,,,n中至少有一个为0；（6）设0是方阵A的一个特征值，()Arr，则0()EAXo有r个线性无关的解向量作为A对应于特征值0得特征向量；错误，设A为n阶方阵，0()EAXo的基础解系所含向量的个数0nrEA即为A对应于特征值0的线性无关特征向量的个数，显然0()nrrrEAA；（7）设0是方阵A的一个特征值，则0kλ是矩阵EAk的特征值（k是常数）；正确，若0是方阵A的一个特征值，即00A，从而000000kk+k+k+EAEA.（8）设向量ξ是矩阵A的特征向量，则ξ也是3224AAE的特征向量.正确，因A，则3232323224242424AAEAAE，第四章相似矩阵148即ξ也是3224AAE的对应于特征值3224的特征向量.3.设n阶方阵A满足等式2AE，求A的特征值.解1由题意，Aξξ，ξO.则2()()AAξAξAξξ，而2EAAξAξξξ,即221ξξξO,因ξO，故2101.解2设是n阶方阵A的特征值，由110()mmmmfaaaAAAEO110()0mmmmgaaa.因2AE即20AE，知2101.4.已知三阶方阵A的三个特征值为1231,2,3，分别求矩阵3A，1(2)A及*A的特征值.解由题意，Aξξ，ξO.（1）3222()()()AξAAξAξAξ()()AAξAξ223()()Aξξξ，即3为矩阵3A的特征值，从而3A的三个特征值为1,8,27.（2）用1(2)A左乘以Aξξ两端，有11122ξAξ，即1111112222ξAξξAξ，因此12为矩阵12A的特征值，从而12A的三个特征值为12,14,16；（3）因为*1AAA，用*A左乘以Aξξ两端，有1AξAAξ，即111*AξAAξAξAξ，因此1A为矩阵*A的特征值，而1236A,从而*A的三个特征值为6,3,2.5.已知三阶方阵A的三个特征值为1231,1,2，求（1）232BAAE的特征值；（2）232BAAE的行列式的值.解设是n阶方阵A的特征值，由110()mmmmfaaaAAAE110()mmmmgaaa.则232BAAE的特征值为232，对应于A的三个特征值1231,1,2，232BAAE的三个特征值为1236,0,12，且12360120B.6.设向量(1,1,1)Tξ是矩阵11201122aA对应于特征值0λ的特征向量，求0λ和a.第四章相似矩阵149解由Aξξ，即011112011112211a，得000011,21,3,1.122.aa7.证明：（1）设12,λλ是矩阵Α的两个不同的特征值，若1ξ是对应于1λ的特征向量，则1ξ一定不是对应于2λ的特征向量；证（反证法）若1是矩阵A对应于特征值12和的特征向量，即111A，121A，且12，从而1121，即121()O.因12,故1,O这与特征向量是非零向量矛盾，因此一个特征向量只能属于一个特征值.（2）设12,ξξ分别为Α对应于特征值12,λλ的特征向量，则12ξξ不是Α的特征向量.证（反证法）假设12是A的属于特征值的特征向量，则121212()().A又111A,222A,12121122()AAA,故1122()().O由于1与2属于不同的特征值，故线性无关，从而在上式中，120,即12.这与12矛盾，故12不是A的特征向量.注一般地，若1与2是矩阵A的属于两个不同的特征值12,的特征向量，则当120,0kk时，1122kk不是A的特征向量.若1与2均是矩阵A的属于同一个特征值的特征向量，则当1122kk非零时，仍是A属于特征值的特征向量,即同一特征值所对应的特征向量的线性组合仍是该特征值所对应的特征向量.9.设,AB为n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值.证一只需证明AB与BA有相同的特征多项式.事实上，因A可逆，故111111()()().EABAAEABAEABAAEAAABAEAAAABAEBA证二令为BA的一个特征值，是BA的属于的特征向量，则BA.两第四章相似矩阵150端左乘以A，有ABAA.下证.AO事实上,若AO，因A可逆,则AO两端左乘以1A，有,O这与特征向量的定义矛盾.于是为AB的特征值，且A是AB的属于的特征向量.同理可证，AB的特征值也是BA的特征值，故AB与BA有相同的特征值.证三A可逆时，有1(),BAAABA即AB与BA为相似矩阵.相似矩阵有相同的特征值，故AB与BA的特征值相同.8.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）矩阵112A与121B相似；正确.因为2323,rrccAB，即12323PAPB,由相似的定义，,AB相似；（2）矩阵112A与120010002B相似；错误.矩阵A为对角阵，则与A相似的矩阵不但能够对角化，而且要能相似对角化为A.显然矩阵A及B的特征值都是11（二重），22.可见，若B能够对角化，则得到的矩阵必是A，因此只需判断B是否可以对角化.对于B，考虑二重特征值11，因133212rEB,所以B不能对角化.注以下两种情形，n阶矩阵A可对角化：（1）n阶矩阵A有n个互异的特征值，A可对角化；（2）若A有k重特征值，当方程组EAXO的基础解系含有k个线性无关的解向量，即nrkEA或rnkEA时，A可对角化.（3）若~AB，则AB；第四章相似矩阵151正确.因~AB，故存在可逆矩阵P，使1PAPB，于是111PAPBPAPBPPABAB.（4）n阶方阵A，B有相同的特征值，则A，B相似；错误.对于矩阵112A与120010002B，A，B有相同的特征值11（二重），22.但B不能对角化，故A，B不相似（详见本题之（2））.（5）n阶方阵A，B有相同的特征值，且都可以对角化，则A，B相似；正确.若矩阵A及B的特征值相同，且都可以对角化，则他们的相似对角矩阵必相同或相似.由相似的对称与传递性，A，B必相似.（6）n阶方阵A，B相似，则kEA与kEB相似；正确.因~AB，故存在可逆矩阵P，使1PAPB，于是对任意常数k，恒有11(),kkkPEAPEPAPEB故kEA与kEB相似.例44若矩阵A与B相似，则下列说法正确的是（）.()A;EAEB()BA与B均相似于同一对角矩阵；()C()()rrAB；()D对于相同的特征值，A,B有相同的特征向量.解相似矩阵A,B有相同的特征多项式，即EAEB.但EA不一定等于.EB若EAEB则必有,AB显然不对，排除().A当矩阵A与矩阵B相似时，不能保证它们可相似对角化.即使A,B都可以对角化，但化成的对角矩阵一般不唯一，即A,B可以分别相似于不同的对角矩阵.排除()B.A与矩阵B相似，即存在可逆矩阵P，使得1PAPB.因P，1P可逆，则P,1P可以写成一系列初等矩阵的乘积，则1PAPB等价于将矩阵A经过一系列第四章相似矩阵152的初等变换化为B.因为初等变换不改变矩阵的秩，故()C为正确答案.至于()D，A与矩阵B相似，即存在可逆矩阵P，使得1PAPB.若A，则11PAP，而1111PAPAPPBP，即11BPP，可见对于相同的特征值，A,B的特征向量一般不相同.故()D不正确.例69设n阶方阵A相似于对角矩阵，则下列各项正确的是（）.()AA必为可逆矩阵；()BA有n个不同的特征值；()CA必为实对称矩阵；()DA必有n个线性无关的特征向量.解例如，123000000A，2(1)0EA，A的特征值为0（二重）和1.对于二重特征值0来说，30312rEA，故A可对角化，但0A，A有重特征值，A不是实对称矩阵，因此()A、()B、()C都不成立.故正确答案为()D.事实上，()D为矩阵可对角化的充要条件.10.已知矩阵420,201abAB且~AB，求,ab的值及A，B的特征值.解由A与B相似，则,AB有相同的特征值12,,且12422ABba=；12421b，从而3,5.ba因B的特征值为2,1,故A的特征值也为2,1.第四章相似矩阵15311.矩阵20000101xA与20000001yB相似，求,xy的值.解由A与B相似，则,AB有相同的特征值123,,且12322ABy=；12221yx，从而0,1.xy因B的特征值为2,1,故A的特征值也为2,1.12.已知二阶方阵A的特征值为1,2，它们对应的特征向量分别为T(1,2)和T(1,3)，求A及kA.解由111A,222A，有121122,,A，故11122326A，从而112111231112623262164A.因A的特征值为1,2，则A必可对角化，且存在可逆矩阵P，使11Λ2PAP