2020年南海区第十二届初中综合能力大赛数学模拟试题

数学试题第1页（共4页）2020年南海区第十二届初中综合能力大赛数学(模拟试题)命题与编校：菊花哥哥278本试卷共4页，三大题，13小题，满分100分，考试用时70分钟。（特别鸣谢：2019年高考全国I卷理科数学的难度指向）一、单项选择题（5小题，每小题5分，共25分）1．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数2n时，关于,,xyz的方程nnnxyz没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是A．存在至少一组正整数组(,,)xyz使方程333xyz有解B．关于,xy的方程331xy有正有理数解C．关于,xy的方程331xy没有正有理数解D．当整数3n时，关于,,xyz的方程333xyz没有正实数解2．已知2212012xxyxy，则111...1120192019xyxyxy的值是A．20182019B．20192020C．20202021D．202120223．由三角函数定义，对于任意锐角A，有sincos90AA及22sincos1AA成立．现有一△ABC，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b，AB=c．CD⊥AB于D，DE∥AC交BC于E，设CD=h，BE=a'，DE=b'，BD=c'，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的个数是①222abc；②aabbcc；③22sinsin1AB；④222111abhA．1个B．2个C．3个D．4个4．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）所示（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②3cos5ABE；③当0t≤5时，225yt；④当294ts秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是数学试题第2页（共4页）A．①③④B．②③C．①②③D．②④5．如图所示，已知双曲线50yxx和0kyxx，直线OA与双曲线5yx交于点A，将直线OA向下平移与双曲线5yx交于点B，与y轴交于点P，与双曲线kyx交于点C，6ABCS，12BPCP，则kA．6B．4C．6D．4二、填空题（5小题，每小题6分，共30分）6．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为．（用数字作答）7．佛山市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是．（选填“小学中级”、“小学高级”、“中学中级”、“中学高级”中的一个）8．由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着春节临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工个包裹．9．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的斜边OA与x轴负半轴的夹角为60°，若△OAB的面积是50，则点B的坐标为．数学试题第3页（共4页）第9题图第10题图10．如图，正方形ABCD中，AB=6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是．三、解答题（3大题，每题15分，共45分）11．（15分）已知直线l与直线l外一点P，求作：过点P且垂直于直线l的垂线a（尺规作图）．现给出一种作法，如下：步骤一：在直线l外取一点E，以点P为圆心，以线段PE为半径画弧，交直线l于点M、N；步骤二：分别以点M，N为圆心，大于12线段MN为半径画弧，过两弧的交点的直线a就是所求作的垂线．（1）按上述操作步骤，请成功作出过点P且垂直于直线l的垂线a．（符合要求的一种图形），并说明理由．（2）从你作图的过程中，思考要保证这种作法顺利作出，线段PE应该满足什么条件？（3）为了避免这种情况产生，小明说只要在直线l上取点E好了，并给出了画法，画法对吗？请说明理由．（作法：在直线l上取两点B、D，以P为圆心，以PD为半径画圆交直线l于点E，以P为圆心，以PB为半径画圆交直线l于点F，其中较小圆分别交PB，PF于点M、N，连接E、N和D、M，EN和MD相交于点H，则PH就是所求的垂线．）（4）请在直线l上取点E，用直尺和圆规过点P且垂直于直线l的垂线a（与小明不同的方法，并要求尽可能简单）．12．（15分）已知二次函数223yaxax的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；（2）点,0Pt是x轴上的动点，①求PCPD的最大值及对应的点P的坐标；②设0,2Qt是y轴上的动点，若线段PQ与函数223yaxax的图象只有一个公共点，求t的取值范围．数学试题第4页（共4页）13．（15分）如图①，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且点A在ED的延长线上，以DE为直径的⊙O与AB交于G、H两点，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）如图②，连接OB、OC，若1tan2CAD，试判断四边形BECO的形状，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若5BF，请你求出HG的长．2020年南海区第十二届初中综合能力大赛数学试题第5页（共4页）数学科参考答案与评分标准一、单项选择题（5小题，每小题5分，共25分）题号12345答案DCDAB二、填空题（5小题，每小题6分，共30分）6．1327．小学中级8．8649．56525652,2210．655三、解答题（3大题，每题15分，共45分）11．解：（1）根据点E、点P与直线l的位置关系可分为两种情况：i）点E、点P在直线l的异侧，如图1所示，ii）点E、点P在直线l的同侧，再根据点P到直线l的距离与半径PE长度的比较，圆P与直线l的位置关系可分为三种情况：①圆P与直线l相交，且有两个交点，如图2；②圆P与直线l相交，且有一个交点，如图3；③圆P与直线l相离，如图4．理由如下：图1，解法：根据第二步作法可得直线a是线段MN的中垂线a∵半径PM=PN；∴点P在线段MN的中垂线；∴点P在直线a上．图2，解法：同第一题解法一样．图3，圆P与直线l交点M，N重合，不符合要求，因此不予讨论．图4，图中的圆P不能与直线l相交于点M、N两点，因此不能做出直线a．数学试题第6页（共4页）（2）线段PE要大于点P到直线的距离；（3）正确．根据点E和点D在直线PH的同侧（如图6）或异侧（如图5）两种画法如下：图5理由：连接MN，可得MN∥BF，∴∠MNE=∠NED，∴MEDN，∴∠NMD=∠MNE，∴MH=NH，由△PMH≌△PNH，∴∠MPH=∠NPH，∴PH平分弧MN，即PH垂直ED，所以PH就是所求的垂线，图6理由：同图5证明．（4）第一种方法，如图7：原理：利用直径所对的圆周角是直角．即直径PE所对的∠PBE是直角．作法：在直线l上取一点E，连接PE，取线段PE中点O，以点O为圆心，线段PO为半径作圆，交直线l于点B，作直线PB就是所求的直线a．第二种方法，如图8：原理：由半径PE=BE可得点E在线段PB的中垂线上，同理可得点A在线段BP的中垂线上，所以直线l是线段BP的中垂线，即直线BP就是所求的直线a．作法：在直线l上取点E和点A，然后以点E为圆心，线段PE为半径作圆，再以点A为圆心，线段PA为半径作圆，两圆相交于点P和点B．直线BP就是所求的直线a．评分标准：1．（1）问4分，（2）问2分，（3）问4分，（4）分5分；12．解：数学试题第7页（共4页）（1）在二次函数223yaxax中，∵212axa，∴223yaxax的对称轴为1x，∵223yaxax的最大值为4，∴抛物线的顶点1,4D，将1,4D代入223yaxax中，得1a，∴该二次函数的解析式为223yxx，∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）；（2）①∵PCPDCD，∴当P，C，D三点在一条直线上时，PCPD取得最大值，如图1，连接DC并延长交x轴于点P，将点D（1，4），C（0，3）代入y=kx+b，得43kbb，解得k=1，b=3，∴3CDyx，当y=0时，3x，∴(0,3)P，221(43)2CD，∴PCPD的最大值为2，(0,3)P；②223yaxax可化为2223(0)23(0)xxxyxxx，将P（t，0），Q（0，2t）代入y=kx+b，得02tkbbt，解得：2,2kbt，∴22PQyxt，情况一：如图2-1，当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象只有一个公共点，此时t=-3，综合图2-1，图2-2，所以当t≤-3时，线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象只有一个公共点；数学试题第8页（共4页）情况二：如图2-3，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象只有一个公共点，此时32t，如图2-4，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象有两个公共点，综合图2-3，图2-4，所以当332t时，线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象只有一个公共点；情况三：如图2-5，将y=-2x+2t带入y=-x2+2x+3（x≥0），整理，得x2-4x+2t-3=0，164(23)288tt，令28-8t=0，解得72t，∴当72t时，线段PQ与函数2223(0)23(0)xxxyxxx的图象只有一个公共点；综上所述，t的取值范围为t≤-3或332t或72t．评分标准：（1）（2）（3）问分别赋分4、5、6分。13．解：数学试题第9页（共4页）（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴BC=AC，EC=DC，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCE-∠FCD=∠ACB-∠FCD，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠AEB=90°，∴BE⊥OE，又∵OE是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）四边形BECO是平行四边形，理由如下：∵点O是ED的中点，∴CO是DE边上的中线，∵△CDE是等腰三角形，∴CO是DE边上的高线，∴CO⊥DE，∴∠COE=∠AOC=90°，∵∠AEB=90°，∠AEB