10章 应力状态与强度理论(xh)

应力状态和强度理论第10章应力状态与强度理论10.1应力状态的概念10.2二向应力状态分析10.3三向应力状态分析简介10.4广义虎克定律10.5强度理论简介应力状态钢件的扭转铸铁件的扭转10.1应力状态的概念10.1.1一点处的应力状态概念：指通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况总和。“一点处的应力状态”10.1.2一点处应力状态的研究方法取一个微小的正六面体，当正六面体的三个棱长趋于无穷小时，它便称为称为该点的单元体。单元体：总是沿构件的横截面和纵截面截取单元体。图8-1a图8-1b图8-1a图8-1bxyzxxxyyy关于单元体：（边长无限趋于0的立方体）单元体各面上的应力为均匀分布。单元体两个相互平行面上的应力相等，等于该点对应截面上的应力。危险截面、危险点、危险点的应力分布拉伸危险截面、危险点、危险点的应力分布扭转危险截面、危险点、危险点的应力分布弯曲应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明所谓一点处的应力状态，就是受力构件内某一点的各个不同截面上的应力情况。主应力：单元体中切应力为零的平面三对主平面上的主应力一般用表示。并且按代数值大小依次排列，即321,,32110.1.3应力状态的分类主平面：主平面上的正应力xzyxxxyxxyyz三向应力状态二向应力状态单向应力状态10.2二向应力状态分析用平衡的方法，分析过同一点不同方位截面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。应力状态分析：已知现有单元体应力状态如图所示，求与z轴平行的任意斜截面ef上的应力10.2.1斜截面上的应力应力和转角的正负规定如下：正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以绕单元体顺时针转向为正，反之为负由x轴转到斜截面外法线n为逆时针转向时，为正；反之为负。方位角正负的规定沿截面ef将单元体切开，保留左边aef部分，按规定的正负规则对保留部分进行平衡计算。用截面法：平面应力状态分析xyxyyx（解析法）xx´y´yy平衡原理的应用——单元体局部的平衡方程xydAcos-cos)(dAx-ydA(sin)sin0dA+dA(cos)sinx+dA(sin)cosy0xF0yF-dA+xdA(cos)sin+xdA(cos)cos0-ydA(sin)cos-ydA(sin)sinxx´y´yyxdA'x'y'x'y剪中有拉yxyx拉中有剪xxxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力结论:x'y'x'y'(10.1)任意斜面上应力的计算公式xyxyxcos2sin222xyxsin2cos22单元体的不同方位的斜截面上的应力值代表着一点的不同方向的应力状态例题10.1在图10-3所示的应力状态中，求指定斜截面上的应力。060100x50y0yx解由图可知：由式（10.1）得：MPaMPa2sin2cos22xyxyx0120cos250100250100MPa5.12MPa0120sin250100100MPa50MPao60n斜截面上的正应力和切应力方向如图所示2cos2sin2xyx0120sin250100MPaMPa65100MPao60n50MPa10.2.2主平面和主应力利用求函数极值的方法，可确定单元体上的正应力和切应力的最大值以及它们所在平面。由此得出：2sin2cos22xyxyxdd02cos22sin22xyx02cos2sin200xyxyxx22tan0(10.2)（10.3）(10.1)2cos2sin2xyx（10.1）0002cos2sin200xyx(10.2)0在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值。主应力就是最大或最小的正应力。2sin2cos22xyxyx(10.1)yxx22tan0（10.3）22minmax)2(2xyxyx（10.4）平面应力状态中，至少有一个主应力为0若σmax＞0，σmin＜0，则该单元体的三个主应力分别为：σ1=σmax，σ2=0，σ3=σmin。在0°～360°的范围内，由式可以解出两个角度，它们相差90°。10.2.3最大切应力0ddxyx22tan1（10.5）2cos2sin2xyx（10.1）dd02sin22cos22xyx确定最大切应力和最小切应力,1求得切应力的最大和最小值是：22minmax)2(xyx（10.6）xyx22tan1（10.5）yxx22tan0（10.3）12tan2tan1022201401最大切应力和最小切应力所在平面与主平面成45°夹角。圆轴扭转时的应力状态分析圆截面铸铁件扭转时，表面各点max所在的主平面成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉应力达到极限而发生断裂破坏图8-4anMnMABCDnMnM图8-4cxABCDy045s图8-4b图8-4anMnMABCDnMnM图8-4cxABCDy045s图8-4b图8-4anMnMABCDnMnM图8-4cxABCDy045s图8-4b图10-4铸铁试件受扭时的破坏分析a)铸铁试件b)单元体c)断口例题10.2如图10.4所示，试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其数值为：PTWM（1）圆轴的最外层取出单元体ABCD,0yxx（2）（a）（b）（c）该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。处于纯剪应力状态。22minmax)2(2xyxyx（10.4）22)200(200yxx22tan0（10.3）oo270290200或oo1354500或45°和135°所确定的斜截面为主平面，其主应力分别为：00max102min3属于是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于切应力，一个为拉应力，一个为压应力。圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主应力与轴线成45°倾角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂，从而形成与轴线成45°的螺旋断口。纯剪应力状态例10.2讨论图示圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象解：圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为pTW在圆轴的表层，取单元体xyx,0求极值应力2minmax)2(2xyxyx按主应力排序：321,0,判断主方向1354527090200或－或－例10.3从受力构件中截取的单元体，其应力状态如图所示。试其求主应力和主平面方位。MPa80xMPa30yMPa60x解(1)由式(10.4)(P140)计算应力22)60()23080(230802minmaxyxMPaMPa10120MPa,1201,02MPa,10322)2(xyx(2)由式(10-3)计算主平面的位置.yxx22tan030806024.2,7.330000'0900x0yxyx02sin2cos22代入：,7.3300得：MPa1200所确定的平面为主应力所在的平面007.331说明：所确定的平面为主应力所在的平面003.56303.560'03.56yxzO图8-6bxpypzpACB123xyzO图8-6cpACBnnnOxyz112332图8-6a)a)b)c10．3三向应力状态的最大应力只讨论当三个主应力已知时，任一斜截面上的应力计算。以任意斜截面ABC从单元体中取出四面体ABC的法线n与x、y、z轴夹角分别：总应力分解成与斜截面垂直的正应力和相切的切应力。pnn1coscoscos222根据平衡条件和方向余弦关系，可推导出以下关系式（推导过程从略）：))((cos)2()2())((cos)2()2())((cos)2()2(231322212221123222132213312122322232nnnnnn（10.7）式（10.7）即为三向应力状态单元体任意斜截面上的正应力和切应力计算方程式。可以证明：三向应力状态单元体上正应力和切应力的极值分别为2,,31max3min1max（10.7）联立其中任意两个方程求解2个未知数。10．4广义胡克定律,11E,112EE113，，在沿三个方向产生的应变分别为：,1,23E22,221EE223，，E33,331E,332E，，1单元体沿方向所产生的线应变为E11E13，同样的方法可以求出沿2和3方向的线应变根据叠加原理:112322313312111EEEE12广义胡克定律（10.7）三向应力状态下的广义胡克定律112322313312111EEExyzzzxyyzyxxEEE111三向应力状态下的广义胡克定律112322313312111EEExyzzzxyyzyxxEEE111在复杂应力状态下，沿某主应力方向的线应变不仅与该主应力有关，也与另外两个主应力有关。上述关系称为广义胡克定律，它只适用于线弹性小变形条件下的各向同性材料。解由广义胡克定律[式(8.7)：)]([13211E)]([11322E)]([12133E例题10.4设某二向应力状态单元体，已知主应力，主应变。泊松比。试求主应变。0,0,0321,107.1413.0342104.0③①)1(2121E)(12121E④④代入③得：②①+②得：213133为负值，表明与平行的棱边缩短。410)4.07.1(3.013.021314109.0