第五章 电路的瞬态分析

第5章电路的瞬态分析5.1电容元件和电感元件5.2换路定理5.4一阶电路的零状态响应5.3一阶电路的零输入响应5.5一阶电路的全响应5.6求解一阶电路的三要素公式5.7微分电路与积分电路5.1.1电容元件•电容元件是实际电容器的理想模型。•电容器是由两块金属板间隔介质构成的。不同介质，命名了不同品种的电容，例如，陶瓷电容器、云母电容器、电解质电容器等。•如果电容器外接电源，两块极板上就分别聚集了等量的正负电荷，极板之间形成了电场，储存了电场能量。去掉了外电源，两极板上的电荷依靠电场力的作用相互吸引，由于介质的绝缘作用又不能中和，理想情况下，电荷就会永远地储存在电容中。电容器是能够储存电荷，建立电场，储存电场能量的器件。电路理论中的电容元件就是模拟电容器的这种物理特性的电路模型。()qt()tu()itqu（a）（b）图5-1电容元件5.1.1电容元件电容元件的定义一个二端元件，在任一时刻t，它的电荷与端电压u的关系用平面上的一条曲线确定，则该二端元件为电容元件，电容元件符号如图5-1(a)所示。quq如果特性曲线如图5-1(b)所示，是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则称该电容元件为线性时不变电容。5.1.1电容元件——图5-1电容元件()()qtCut(F)库仑（C）伏特（V）61F10F61F=10Fp电容元件的定义()()qtCut电容的单位5.1.1电容元件——5.1.2电容的伏安特性当电容的电流和电压是关联参考方向时若电流和电压为非关联参考方向，则上式要加负号()()()()dqtdCutdutitCdtdtdt()()dutitCdt1()()tutidC00111()()()()ttttutidididCCC001()()ttutidC如果任意选定一初始时刻作为研究起点，以后的电压为0t0t或5.1.2电容的伏安特性开关在时刻从1端合向2端，设时电容充电且电容电压为，讨论时电容电压的情况。0t0t(0)Cu0tCu2R1R120uSuCiC例5-1：5.1.2电容的伏安特性图5-2解：在t0时，开关合向1端，给电容充电的电流为，当t0时，开关合向2端，电容的充电电流。设开关离开1端的瞬间为，合向2端的瞬间为则1Ci2Ci0011()()tCCutitdtC120000111()()()tCCCitdtitdtitdtCCC例5-15.1.2电容的伏安特性已知观察电路，由于开关动作从过程，电容没有新增或新减的电荷，所以或即(5-1)101()(0)CCitdtuC00()(0)(0)Citdtqq00(0)(0)0qq001()(0)(0)0CCCitdtuuC(0)(0)qq例5-15.1.2电容的伏安特性式（5-1）说明电容在t=0时接入新电路，在换路瞬间电容上的电荷或电容电压不突变，这也正是瞬时电荷守恒定律的体现。于是式（5-1）可表示为：(0)(0)CCuu201()(0)()tCCCutuitdtC例5-15.1.2电容的伏安特性5.1.3电容的储能5.1.3.1电容的能量公式当电容电压与电流为关联参考方向时，每瞬时电容吸收的功率为当电容充电时，、符号相同，功率为正，电容吸收能量；当电容放电时，、符号相反，功率为负，电容释放能量。()()()ptutituuii0p0p从到时刻，电容元件吸收的电场能量为时,则tt()()()()ttwtpduid()()tduCudd()()()()utuCudu2211()()22CutCut()0u21()()2wtCut5.1.3.1电容的能量公式上式表明，电容在某一时刻的储能，只取决于该时刻的电容电压值。5.1.3.2总结和举例电容元件的性能与电阻相比更复杂，为方便理解记忆，归纳电容元件的性能如下：21()()2wtCut5.1.3.2总结和举例1.电容是动态元件是直流时，为0，即电容有隔直特性。2.电容的电流为有限值时，若电路在时换路，电容电压不会跃变，即电容是惯性元件。3.电容电压，说明了电容是记忆元件。()()dutitCdtui0t(0)(0)CCuu1()()tutidC例5-2电路如图5-3（a）所示，电容电压波形如图（b）所示，求电容电流，瞬时功率和储能并画出波形图。()Cut()Cit()Cpt()CwtCi2FCu图5-3(a)图5-3(b)解：由图（b）波形知0004()122460V6CtttuttttS图5-3(b)例5-3电流波形如图(c)所示00204()4460A6CttitttS()CCduitCdt瞬时功率波形如图(d)所示()()()CCCptutit00204()488460W6CtttpttttS瞬时储能波形如图(e)所示21()()2CCwtCut220004()(122)460J6CtttwttttS02464()/VCut/St（b）0246()/ACit/St（c）02468()/WCpt/St（d）16024616()/JCtw/St（e）2图5—35.1.4电感元件电感元件是实际电感器的理想模型。将一根导线绕成线圈，当线圈通过电流时产生磁链如图（a）所示，并在周围建立起磁场，储存磁场能量。不考虑其它作用，只体现能够建立磁场，储存磁能这一物理特性的电路模型就是电路理论中的电感元件，称为电感。,NN为线圈的匝数，为磁通,电路符号如图（b）所示电感元件定义为：一个二端元件在任一时刻t，它的磁链与它的电流有关，并可用平面的一条曲线来确定。如果平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变化，如图（c）所示，则称此电感元件为线性时不变电感元件。()t()itii电感元件定义当电感中磁链与电流的参考方向符合右手螺旋法则，如图5-4（c）所示时，与的关系表示为(5-2)其中L为正值常数，是特性曲线的斜率，称为电感。i()()tLiti电感的单位有亨利（H）、毫亨（mH）、微亨（μH）。1韦伯（wb）亨利(H)=1安培（A）1H1000Hm1H1000Hm5.1.5电感的伏安特性如果通过电感的电流随时间变化，磁链也跟随变化，根据电磁感应定律，线圈两端产生感应电压，电压与磁链参考方向符合右手螺旋法则，如图5-4（a）所示，则将式（5-2）代入上式可得（5-3）dudt()()ditutLdt电感上电压、电流符合关联参考方向若电感电压、电流是非关联参考方向，关系式前要加负号，即()()ditutLdt1()()titudL或表明，某一时刻t的电感电流不仅取决于该时刻的电压值，还取决于t之前，从到t的所有时间里的电压值，因此，电感电流能记忆电压的历史，电感元件也是个记忆元件。如果选定任意时刻作为研究起点，以后的电流为0t0t00111()()()()ttttitudududLLL001()()ttitudL1()()titudL其中为时刻的初始电流，它反映了电感电压以前全部电压积累的效果。电感在时刻以后的电流0()it0()it0t0t0t0tt()it00111()()()()ttttitudududLLL001()()ttitudL由和后的电压来决定。在图5-5中，开关在t=0时刻闭合，设开关闭合前电感的初始电流为，时电流为其中是开关闭合前瞬时，是开关闭合后瞬时。(0)Li0t1()()tLLitutdtL0000111()()()tLLLutdtutdtutdtLLL002R2u()utL()itL1u1RS图5—5讨论电感电流具有惯性上式第一项上式第二项由于电感电压为有限值，电感电流具有惯性，是连续变化的，所以01()(0)LLutdtiL001()(0)(0)LLLutdtiiL(0)(0)0LLii(0)(0)LLii或上式说明在换路瞬间，电感电流不发生跃变，符合瞬时磁链守恒规律。01()(0)()tLLLitiutdtL(0)(0)(0)(0)LLii1()()tLLitutdtL5.1.6电感的储能当电感电流、电压为关联参考方向时，任一时刻电感吸收的功率为表示瞬时功率，当时，电感吸收能量，当时，电感释放能量。从到时刻，电感吸收的磁场能量为()()()ptutit()pt0p0ptt由于时，所以从时刻到内，电感吸收的磁场能量()()()()ttwtpduid()()()()()()titidiLidLitditd2211()()22LLLitLit()0i21()()2wtLit1t2t)(21)(21)()()(1222)()(21tLitLitditiLtwtitiii0w0w当电感电流增加时，电感吸收能量，当电感电流减小时，电感释放能量。电感元件不消耗能量，所以说电感元件仅是储能元件。)()(12twtw1.电感元件是动态元件，，当是直流电流时，电感元件视为短路线;2.电感电压为有限值时，电路发生换路，电感电流不跃变，电感是惯性元件;3.电感电流记忆了电感电压作用历史，电感元件是记忆元件。()()ditutLdt()it(0)(0)LLii1()()tLLitutdtL归纳电感元件的特性为5.1.7电容、电感的串、并联假设有n个电容元件串联，各电容的初始电压分是、、……，电路的电流为,各电容电压分别、、。总电压)0(1ui1ut2utnut12...nuututut一、电容的串、并联电容的串联)0(2u)0(1u)0(3u各电压为tdiCutu0111)(1)0()(tdiCutu0222)(1)0()(tnnndiCutu0)(1)0()(所以总电压为即总初始电压串联连接的总电容为tsdiCutu0)(1)0()(121111...snCCCCtnndiCCCuuu02121)()111()0()0()0()0()0()0()0(21nuuuu.121111...snCCCC若并联，根据KCL并联时总电流为电容伏安关系……12,,...nCCC12...niiii11duiCdt22duiCdtnnduiCdt电容的并联=并联电容的总电容为12...ndududuiCCCdtdtdt12...nduCCCdtpduCdt12...pnCCCC若有几个电感串联，如图所示，总电压为12...nuuuu12...ndididiLLLdtdtdt12...ndiLLLdt二、电感的串、并联12...snLLLL1u2uiu1L2LNL串联电感总电感为各电感之和SL电感的并联tnttudLudLiudLi002201111)0(1)0(12...niiiitpudLi01)0(即总初始电流为并联连接的总电感为121111...pnLLLL)0()0()0()0(21niiii1.1.换路定则5.2换路定则和初始值当电路的结构和元件的参数发生变化时电路发生换路。在图5－2－1电路中，当开关在0tt