14相干传递与非相干传递函数

相干传递与非相干传递函数衍射受限相干光学成像系统上图的衍射受限相干光学成像系统输入面上照明光是相干光，即单一波长，单一偏振方向，光场中在成像过程中任意两点之间的光程差（相对位相）恒定。相干传递函数公式表明在相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不变的。空间不变线性系统的变换特性在频域中来描述更方便。频域中描述系统的成像特性的频谱函数称为衍射受限系统的相干传递函数，记作CTF。),(~),(~~)~,~(~)~,~(),(000000iiiigiigiiiyxhyxUydxdyyxxhyxUyxU系统的本征函数和信号频谱相干成像系统的物像关系卷积积分描述该卷积积分把物点看做基元，而像点是物点产生的衍射图样在该点处的相干叠加从频域来分析成像过程，系统的本征函数是复指数函数考察系统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱和输出频谱分别为yxUffGgyxgc~,~,FiiiyxicyxUffG,F,相干传递函数CTF的计算相干传递函数CTF是点扩散函数的傅里叶变换由于点扩散函数本身是光瞳函数的傅里叶变换，因此根据傅里叶变换的积分定理有这说明，相干传递函数等于光瞳函数，仅在空域坐标和频域坐标之间存在着一定的坐标缩放关系。而且上一节给出的光瞳上的坐标变换产生了具体的物理意义，即空间频率一般光瞳函数都是中心对称的，故可在一个反射坐标中来定义相干传递函数，去掉负号的累赘，将相干传递函数改写为iiyxcyxhffH,~),(F),(~,~),(yixiiiyxcfdfdPydxdPffHFFiyixdyyfdxxf~,~),(),(yixiyxcfdfdPffH衍射受限系统是一个低通滤波器一般说来光瞳函数总是取1和0两个值，所以相干传递函数也是如此，只有1和0两个值若由频率决定的光瞳坐标值在光瞳内，则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅衰减也没有相位变化，即传递函数对此频率的值为1。若由频率决定的光瞳坐标值在光瞳之外，则系统将完全不能让此种频率的指数基元通过，也就是传递函数对这频率的值为0。这就是说，衍射受限相干光学成像系统是一个低通滤波器，在空间频域中存在一个有限的通频带它允许通过的最高频率称为系统的截止频率，用表示fyixifdyfdx,圆形光瞳相干传递函数计算对于直径为D的圆形光瞳，其孔径函数可表为故其相干传递函数和截止频率分别为例如：出瞳直径，出瞳与像面距离，照明光波长，则有2/),(22DyxcircyxPiyxyixiyxcdDffcircfdfdPffH2/),(),(22idDfmmDmmdinm)(mmc正方形光瞳相干传递函数计算对于出瞳是边长为的正方形，则光瞳函数为相干传递函数为显然，不同方位上的截止频率不相同，在轴方向上，系统的截止频率。系统的最大截止频率在与轴成45°角方向上aayrectaxrectyxP),(afdrectafdrectfdfdPffHyixiyixiyx),(),(iyixdafrectdafrect//yx,idafx相干传递函数计算问题举例如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径应等于多大（相对于写出关系式）？DaD相干传递函数计算例题解答这两个系统都是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和像方无穷远处。对于这种放大率为1的系统，能通过光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算要保证4f系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波均都毫无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径应不小于透镜直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为fDc4fac2相干传递函数计算例题解答（续）按题意要求二者相等，即，于是得应当注意，尽管表面上看第二个系统的光栏孔径可以比第一个系统的透镜孔径要小，但是由于要求光阑直径应不小于透镜直径与物面直径之差第二个系统的透镜孔径并不小，另一方面由于第二个系统的光栏面直接就是频谱面，做空间滤波操作比较简单，因此是一个常用的光学信息处理系统第二个系统的两个透镜焦距并不一定相等，在光学信息处理中，有时需要放大率不是一'cc2Da非相干照明的特点非相干照明时物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此独立、统计无关的。虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，应该先由这些复振幅分布分别求出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加）而得到像面强度分布。在传播时光的非相干叠加对于强度是线性的，因此非相干成像系统是强度的线性系统。在等晕区光学系统成像是空不变的，故非相干成像系统是强度的线性空不变系统。非相干线性空不变成像系统卷积积分非相干线性空不变成像系统，物像关系满足下述卷积积分式中，是几何光学理想像的强度分布，为像强度分布，是常数，由于它不影响的分布形式，所以不用给出具体表达式h1为强度脉冲响应（或称非相干脉冲响应、强度点扩散函数）。它是点物产生的像斑的强度分布，它应该是复振幅点扩散函数模的平方，即线性空不变成像系统的像强度分布是理想像的强度分布与强度点扩散函数的卷积，系统的成像特性由强度点扩散函数表示，而强度点扩散函数又复振幅点扩散函数由决定。000000~~)~,~()~,~(),(ydxdyyxxhyxIkyxIiiIgiii),(),(iiIiigyxhyxkIgIiIkiI2),(~),(iiiiIyxhyxh强度线性空不变系统频域物像关系将卷积积分式两边进行傅里叶变换并略去无关紧要的常数后得其中由于,和都是强度分布，都是非负实函数，因而其傅里叶变换必有一个常数分量即零频分量，而且它的幅值大于任何非零分量的幅值。决定像的清晰与否的，主要不是包括零频分量在内的总光强有多大，而在于携带有信息那部分光强相对于零频分量的比值有多大，所以更有意义的是，，相对于各自零频分量的比值。yxIyxgyxiffHffAffA,,,),(),(iiiyxiyxIffAF),(,iigyxgyxIffAF),(),(iiIyxIyxhffHF),(iiiyxI),(iigyxI),(iiIyxh),(yxiffAyxgffA,),(yxIffH物像强度与传递函数的归一化频谱用零频分量对它们归一化，得到归一化频谱iiiiiiiiyixiiiiyxiyxidydxyxIdydxyfxfjexpyxIAffAff),()]([),(),(),(),(AiiiigiiiyixiiggyxgyxgdydxyxIdydxyfxfjexpyxIAffAff),()]([),(),(),(),(AiiiiIiiiyixiiIIyxIyxdydxyxhdydxyfxfjexpyxhHffHff),()]([),(),(),(),(Hπ非相干成像系统的光学传递函数归一化频谱也满足公式其中H为非相干成像系统的光学传递函数（OTF），它描述非相干成像系统在频域的效应。式中三者一般都是复函数，都可以用它的模和辐角表示，于是光学传递函数可以表示为其中通常称为调制传递函数（MTF），为相位传递函数（PTF）.前者描写了系统对各频率分量对比度的传递特性，后者描述了系统对各频率分量施加的相移。yxyxIyxiffffff,,,HAAyxyxyxf,fφjexpf,fmf,fH)()(),()()(yxgyxiIyxIyxf,ff,fHf,fHf,fmAA)()()(yxgyxiyxf,fφf,fφf,fφyxf,fm)(yxf,fφ系统的本征函数:余弦函数物强度分布、像的强度分布与强度点扩散函数是非负实函数,余弦函数是这种系统的本征函数即强度余弦分量在通过系统后仍为同频率的余弦输出，其对比度和相位的变化决定于系统传递函数的模和辐角。OTF唯一的影响是改变这些基元的对比度和相对相位。一个余弦输入的光强分布通过非相干光学系统成像后得到的输出光强分布为余弦条纹的变化取决于系统的光学传递函数在该频率处的取值)],()~~(cos[)~,~(yxgyxgffφyfxfbayxIπyxyxgiyixyxffφffφyfxfcosffm,,,πbayxIiii),(余弦强度分布的对比度对比度或调制度定义为物（或理想像）和像的调制度为合并以上两式得传递函数辐角显然是余弦像和余弦物的相位差：MTF给出了对比度的降低，PTF给出了相应的相移minmaxminmaxIIIIVabbabababaIIIIVggggg)()()()(minmaxminmaxyxyxyxyxyxiiigiffmabffbmaffbmaffbmaffbmaIIIIV,,,,,minmaxminmaxgyxiVffmV,yxffφ,yxyxgyxiffφffφffφ,,,OTF与CTF的关系光学传递函数与相干传递函数分别描述同一系统采用非相干和相干照明时的传递函数，它们都决定于系统本身的物理性质，相互有联系利用自相关定理和帕色伐定理得到因此，对同一系统来说，光学传递函数等于相干传递函数的自相关归一化函数。这一结论对有像差的系统和没有像差的系统都完全成立yxff,HyxcffH,),(/),(),(IIHHHiiiiIiiIdydxyxhyxh),(,FddHddHHdydxyxhyxhccciiiiIiiI2),(),(),(),(,F衍射受限系统的OTF相干照明的衍射受限系统有相应的非相干照明衍射受限的OTF为令，积分变量的替换不会影响积分结果，于是得对于光瞳函数只有1和0两个值的情况，分母的可以写成。公式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数yixiyxcfdfdPffH,,ddddPddfdfdPddPffiiyixiiiyx),()](),([(),(,Hβλdyα,λdxiidxdyyxPdxdyfdyfdxPyxPffyixiyx),(),(),(),(HλλPP光学传递函数的几何解释一般情况下光瞳函数只有1和0两个值，上式中分母是光瞳的总面积S0，分子代表中心位于的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积，求衍射受限系统的OTF只不过是计算归一化重叠面积，即如下图所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就是和频率有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算在一系列分立频率上的OTF。SffSffyxyx,,Hyixifdfd,yxffS,光学传递函数的几何解释图衍射受限系统OTF的几个性质光学传递函数是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量的对比，而不改变它们的相位。即只需考虑MTF而不必考