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第1页（共16页）绝密★启用前立体几何---专练1．已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°；（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F﹣ACE与四棱锥C﹣PBEF的体积之比．2．如图，三棱台ABC﹣EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF．（Ⅰ）求证：AB⊥CG；（Ⅱ）若BC＝CF＝4，求三棱锥G﹣ABC的体积．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=𝜋3，AB＝4，PA＝PD＝2√2．（1）若M为线段AB中点，N为线段PC中点，求证：MN∥平面PAD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三校锥A﹣PBD的高．4．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°且AD＝CD，BB1⊥平面ABCD，BB1＝2AB＝2．（1）证明：AC⊥B1D．（2）求四棱锥C1﹣B1BD的体积．第2页（共16页）5．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A1的位置，且二面角A1﹣BD﹣C为60°．（1）求异面直线A1C与BD所成角的大小；（2）若点E为A1C中点，求直线BE与平面A1DC所成角的正弦值．6．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=𝜋3，M为AB中点（1）在线段PC上求一点N，使得MN∥平面PAD；（2）若AB＝4，PA＝PD＝2√2，且二面角P﹣AD﹣B为5𝜋6，求PA与平面PBC所成角的正弦值．7．如图，△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．（1）证明：BC⊥平面PBE；（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．8．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，A1C＝BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，∠CBA＝∠CBB1，AC⊥B1C，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．第3页（共16页）9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，PD＝PA＝CD＝BC=12AB，PB＝PC．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）若三棱锥B﹣PCD的体积为2√23，求PC的长．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为√24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为√5，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，点D，E，F分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；第4页（共16页）13．已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD=√5，𝑆𝐵=√7，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且𝑆𝐹→=𝜆𝑆𝐶→，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角S﹣BE﹣F的余弦值．14．如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD＝90°，CD＝BC＝1，AB＝2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求证：AH⊥平面PBC；（2）求PM与平面AHB成角的正弦值；（3）在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．16．已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC=12BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点．（1）求四棱锥B1﹣AECD的体积；（2）证明：B1E∥面ACF；（3）求面ADB1与面ECB1所成锐二面角的余弦值．第5页（共16页）17．已如图，已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．18．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC＝2AB，∠ABC＝60°，PA＝PB，点M为AB的中点．（Ⅰ）在棱PD上作点N，使得AN∥平面PMC（Ⅱ）若PB⊥AC，且直线PC与平面PAB所成的角是45°，求二面角M﹣PC﹣A的余弦值19．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB＝2a，∠ABC＝120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，𝐷𝐸=2𝐵𝐹=2√2𝑎，平面BDEF⊥底面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AC＝4，AB＝2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点．（1）若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ；（2）若二面角B1﹣PQ﹣C1的平面角的余弦值为√1313，求点P到平面BQB1的距离．第6页（共16页）立体几何---专练（答案解析）1．【解答】（1）证明：∵PB＝4，BC＝2，∠PBC＝60°，∴PC=√𝑃𝐵2+𝐵𝐶2−2𝑃𝐵⋅𝐵𝐶⋅𝑐𝑜𝑠∠𝑃𝐵𝐶=√16+4−8=2√3，∴PB2＝PC2+BC2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．（2）解：∵AE＝2EB，∴AE=23AB，设P到AB的距离为d，∵F是PA的中点，∴F到AB的距离为12d，∴S△AEF=12𝐴𝐸⋅12𝑑=12⋅23𝐴𝐵⋅12𝑑，又S△PAB=12𝐴𝐵⋅𝑑，∴S△AEF=13S△ABC，∴SPBEF=23S△ABC，∴S△AEF：SPBEF＝1：2，设C到平面PAB的距离为h，则VF﹣ACE＝VC﹣AEF=13𝑆△𝐴𝐸𝐹⋅ℎ，VC﹣PBEF=13𝑆𝑃𝐵𝐸𝐹⋅ℎ，∴𝑉𝐹−𝐴𝐶𝐸𝑉𝐶−𝑃𝐵𝐸𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆𝑃𝐵𝐸𝐹=12．2．【解答】（I）证明：取BC的中点D，连结DF．由ABC﹣EFG是三棱台得，BC∥FG．又BC＝2FG，D是BC的中点，∴CD＝FG，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵CF＝BF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCGF，平面ABC∩平面BCGF＝BC，DF⊂平面BCGF，∴DF⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴DF⊥AB，又DF∥CG，∴AB⊥CG．（Ⅱ）∵BC＝BF＝CF＝4，∴DF＝2√3，S△ABC=√34×42=4√3，由（I）知DF⊥平面ABC，又FG∥BC，∴G到平面ABC的距离等于DF．∴VG﹣ABC＝VF﹣ABC=13𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐷𝐹=13×4√3×2√3=8．3．【解答】证明：（1）如图所示，取线段PD的中点H，连结NH，AH，在△PDC中，NH∥DC，NH=12𝐷𝐶，∵ABCD是菱形，M为中点，∴AM∥DC，AM=12𝐷𝐶，∴HN∥AM，HN＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，∵AH⊂面PAD，MN⊄面PAD，∴MN∥平面PAD．解：（2）∵PA＝PD＝2√2，AD＝4，∴AP⊥PD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，则PO＝2，BD＝4，在Rt△POB中，PB＝4，∴S△PBD=12×2√2×√42−(√2)2=2√7，设三棱锥A﹣PBD的高为h，由VP﹣ABD＝VA﹣PBD，得13×√34×16×2=13×2√7×ℎ，解得h=4√217，∴三棱锥A﹣PBD的高为4√217．第7页（共16页）4．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，∴AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDB1，又B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D．（2）解：由（1）可知∠ADB=12∠ADC＝30°，∴∠ABO＝60°，∴OB=12AB=12，BD＝2AB＝2，∴OD=32，OC＝OA=√32．∵CC1∥BB1，CC1⊄平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，∴C1到平面BB1D的距离等于C到平面BB1D的距离，∴V𝐶1−𝐵𝐵1𝐷=V𝐶−𝐵𝐵1𝐷=13𝑆△𝐵𝐵1𝐷⋅𝑂𝐶=13×12×2×2×√32=√33．5．【解答】解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C⊂平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．…（5分）（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1﹣BD﹣C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，B（4，0，0），D（﹣4，0，0），C（0，4√3，0），A1（0，2√3，6），E（0，3√3，3）．所以𝐵𝐸→=（﹣4，3√3，3），𝐷𝐴1→=（4，2√3，6），𝐷𝐶→=（4，4√3，0）．设平面A1DC的法向量为𝑛→=（x，y，z），则{𝐷𝐴1→⋅𝑛→=4𝑥+2√3𝑦+6𝑧=0𝐷𝐶→⋅𝑛→=4𝑥+4√3𝑦=0，取y＝1，得𝑛→=（−√3，1，√33），设直线BE与平面A1DC所成角为θ，则sinθ=|𝐵𝐸→⋅𝑛→||𝐵𝐸→|⋅|𝑛→|=8√3√52⋅√133=1213．所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为1213．…（12分）第8页（共16页）6．【解答】解：（1）设线段PC的中点为N，则N为所求．设线段PD中点为H，连结NH，AH，在△PDC中，HN∥DC，HN=12𝐷𝐶，∵四边形ABCD是菱形，M为中点，∴AM∥DC，AM=12𝐷𝐶，∴HN∥AM，HN＝AM，∵AH⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD，即N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连结BO，∵∠BAD=𝜋3，∴BO⊥AD，连结PO，∵PA＝PD，则PO⊥AD，∴∠POB是二面角的平面角，如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过迷途知返平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2√3，0），P（0，−√3，1），C（﹣4，2√3，0），𝑃𝐴→=（2，√3，﹣1），𝑃𝐵→=（0，3√3，﹣1），𝐵𝐶→=（﹣4，0，0），设面PBC的法向量𝑚→=（x，