寒假初一数学专题

第1页共42页寒假专题――有理数一、教学内容专题复习——有理数1、有理数的基本概念.2、相反数、数轴及绝对值的概念.3、有理数的加减乘除乘方运算法则.4、有理数的混合运算.二、教学目标1、了解负数的概念，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.2、会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.3、理解有理数，并会将有理数进行分类.4、理解数轴的概念，会画数轴，并会利用数轴比较两个有理数的大小.5、理解绝对值的概念及性质6、会求负数的绝对值和比较负数的大小.7、能进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算.三、知识要点分析1、有理数的基本概念（这是重点）.（1）正数与负数.①正数：比0大的数；②负数：在正数前面加上“－”号的数叫负数，所以负数还可以说成是比0小的数；③正数和负数可以代表意义相反的量.如：正数可代表：上升，盈利，增加，运入，海平面以上，零度以上……负数可代表：下降，亏本，减少，运出，海平面以下，零度以下……④特别要注意的！0既不是正数，也不是负数，但0是整数，是有理数.（2）有理数分类.整数和分数统称有理数，有理数可以这样进行分类正整数整数0负整数①有理数正分数分数负分数0正整数正有理数正分数②有理数负整数负有理数负分数（3）数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（4）相反数的概念如2与－2只有符号不同，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点都是两个单位的长度，像这样的一对数我们称之为相反数，其中一个数是另一个数的相反数.同样，3.5的相反数是－3.5，同理，－3.5的相反数是3.5，规定0的相反数是0.（5）绝对值的概念及性质一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作│a│.因为一个数可以是正数，可以是负数，也可以是０，由此得到绝对值的代数意义是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值是０.2、有理数的运算（重点、难点）（1）有理数的加法有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。一个数第2页共42页同0相加，仍得这个数.在有理数范围内，加法的交换律和结合律仍然成立.对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加.（2）有理数的减法由于减法是加法的逆运算，如a－b=c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。因此，有理数的减法运算可以转化为加法去做，得到有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a+（－b），a－（－b）=a+b.（3）有理数的乘法小学时我们已经学过正数的乘法，对于正数和负数相乘的意义，如2×（－3）可以看作是水库的水位下降，记为负量.若每小时下降3cm，2个小时就下降了6cm，表示为－6cm，也就是说2×（－3）=－6。也就得到了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.即确定符号后把绝对值相乘.无论有几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0.（4）有理数的除法我们知道，除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法.根据除法的这种含意，我们得到有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1b（b≠0）.（5）有理数的乘方[来源:学,科,网]在有理数的乘法运算中，有一类各因数都相同的特殊的形式，如（－2）×（－2），为了简便起见，可以写成（－2）×（－2）=（－2）2。一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方.an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.[来源:Z#xx#k.Com]（6）有理数混合运算法则.有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外.【典型例题】考点一：有理数基本概念例1.－351的相反数是，倒数是，绝对值是.【思路分析】本题主要考查的是相反数，倒数，绝对值的概念。根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数知－351的相反数是351；求倒数时，先把－351化为假分数，即516，故其倒数是165；根据负数的绝对值是它本身的相反数可以确定－351的绝对值是351规律与方法：掌握相反数，倒数及绝对值的相关概念.例2.已知│a│＝3，求a.【思路分析】在数轴上离开原点距离为3的数有两个：一个是3，另一个是－3.所以a的值是3与－3这一对相反数.友情提示：绝对值是０的数一定是０.绝对值为正数a的有理数共有两个，是两个互为相反数a和－a.第3页共42页例3.比较56和45的大小.【思路分析】比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对值的大小，这两个分数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分.友情提示：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较出它们的绝对值大小来确定它们的大小.但一定要注意，因为是两个负数，那么它们的绝对值越大，说明在数轴的左边离原点的距离越远，因此它的值越小.例4.（1）求出大于－5而小于5的所有整数；（2）求出适合3＜x＜6的所有整数；（3）试求方程x=5，x2=5的x的值；（4）试求x＜3时，x的所有整数.【思路分析】（1）借助数轴表示±5之间的整数点，有几个整数点，就有几个整数；（2）也借助数轴来找3到6与－3到－6之间有几个整数点；（3）根据一个数的绝对值为正数，这样的数有两个，一正，一负，且它们互为相反数；（4）在数轴上找出－3到3之间的整数点.考点二：有理数的运算例5.计算（1）])3()2[(1232（2）（43－95+127）÷361【思路分析】有理数的混合运算，应先计算乘方，然后再计算乘除，最后计算加减。如果有括号，要先计算括号里面的.在进行计算时，要注意运算律的应用.规律与方法：正确掌握有理数的运算顺序是解决问题的关键.例6.若xyx，则0)32(22，y【思路分析】由于一个数的绝对值和平方都是一个非负数，所以若想让两者的和为零，必须两部分同时为零，即x－2=0，032y，即x=2，32y.规律总结：掌握平方与绝对值的非负性.例7.定义2*abab，则(12)3**______.【思路分析】本题是一种新定义运算题，定义2*abab，所以(12)3**2212*31*3132，故填－2.[来源:学+科+网Z+X+X+K]【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述有理数的基本概念及有理数的运算，本节课涉及的思想是转化的数学思想，分类讨论的数学思想.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.下列说法中正确的是（）A.一个数前面加上“－”号，这个数就是负数；B.非负数就是正数C.正数和负数统称为有理数D.0既不是正数又不是负数2.一个数的倒数等于它本身的数是（）A.1B.1C.±1D.03.下列计算正确的是（）A.2(4)16B.2(4)16C.332233D.223364.使等式｜－7+x｜=｜－7｜+｜x｜成立的有理数x是（）A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数[来源:学+科+网Z+X+X+K]第4页共42页5.如果两个数的绝对值相等，则这两个数（）[来源:学,科,网Z,X,X,K]A.互为相反数B.相等C.积为0D.互为相反数或相等6.若a＜0，b＜0，则下列各式一定成立的是（）A.0abB.0abC.0abD.0ab7.若0＜a＜1，则a，1a，2a从小到大排列正确的是（）A.21aaaB.21aaaC.21aaaD.21aaa8.定义a∨b表示a、b两数中较大的一个，a∧b表示a、b两数中较小的一个，则（50∨52）∨（49∧51）的结果是（）A.50B.52C.49D.519.大于－1999而小于2000的所有整数的和是（）A.－1999B.－1998C.1999D.2000[来源:学§科§网Z§X§X§K]10.当n为正整数时，212(1)(1)nn的值是（）A.0B.2C.2D.2或2二、填空题（每题4分，共20分）11.－5的相反数是，0.001的绝对值是，－43的倒数是。[来源:Zxxk.Com]12.计算：－7+（+2）=，－5－5=，017102001，)2.1()25(，)495()521(，)145()712(.13.比较大小：8385，)75()75(，2)2(.14.绝对值不大于2的所有整数有；其所有整数的和为。15.若a，b互为倒数，c，d互为相反数，则（c+d）2－ab=__________.三、解答题（共40分）16.（本题8分）计算：（直接写出答案）（1）2.5(40)；（2）10.33(100)3[来源:学科网]17.（本题8分）运用简便方法计算：（1）5320.1250.125588；（2）1993819.18.（本题5分）列式并计算：112的平方除以9的相反数的商.19.（本题9分）已知a＜0，b＞0，且4ab，求｜a｜－｜b｜的值.20.（本题10分）一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次爬了0.5米后又往下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米却又滑下了0.15米，第三次往上爬了0.7米却下滑0.15米，第四次往上爬了0.75米却又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.55米，没有下滑，第六次又往上爬了0.48米，蜗牛有没有爬出井口？第5页共42页寒假专题——数轴与有理数【本讲教育信息】一.教学内容：（一）了解数轴上的点与有理数的关系；理解相反数、绝对值的几何意义（二）建立数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，树立数形结合的思想意识（三）通过数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，掌握一些特殊有理数的性质，弄清相反数与绝对值的性质与求法的几何意义；（四）能够利用数轴比较有理数的大小，解决一些有关相反数、绝对值的复杂问题。二、重点、难点：（一）重点1、树立数形结合的意识，能够利用数轴描述有理数的有关概念和运算；2、能够利用数轴进行有理数大小的比较；3、能够利用数轴解决有关相反数与绝对值的一些问题。（二）难点1、有理数运算法则的理解；2、利用相反数与绝对值的几何意义解题。[来源:学科网]课堂教学（一）知识要点1、利用数轴上的点表示有理数通过具有原点、正方向和单位长度的直线建立数轴，从而使所有有理数在数轴上都能找到它们的对应点，这样把有理数的一些问题直观形象化，达到快速、有效解决问题的目的。例如：有理数的分类，原点右侧的点表示有理数为正有理数，左侧的点表示的有理数为负有理数，通过数轴可直观反映出正、负有理数所在的范围。[来源:学科网]原点右边的点表示的数比0大，所以正数通常表示为0a，类似的有负数表示为0a非负数表示为0a，非正数表示为0a。再如，一些特殊的有理数可由数轴直接观察到。最小的正整数为1，最大的负整数为-1，没有最大或最小的有理数，最小的自然数为0等。如：大于-3且小于2的整数有：-2、-1、0、1。2、相反数与绝对值的几何定义引入数轴后，使抽象的数变成了具体的点，为我们的研究和应用带来了极大的方便。在数轴上原点的两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数（注