工程力学(静力学与材料力学)-7B-弯曲强度2(应力分析与强度计算)

TSINGHUAUNIVERSITY范钦珊教育教学工作室FANQin-ShansEducation&TeachingStudio范钦珊教育与教学工作室2020年1月17日工程力学(静力学与材料力学）清华大学范钦珊课堂教学软件(7B)返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY第7章梁的强度(2)-应力分析与强度计算工程力学（静力学与材料力学）第二篇材料力学返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值。怎样确定横截面上的内力分布规律呢？第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY弯曲强度计算弯曲剪应力分析结论与讨论平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY梁弯曲的若干定义与概念纯弯曲时，梁横截面上正应力分析弯曲正应力公式的应用与推广平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY梁弯曲的若干定义与概念对称面——梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetricplane)。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY主轴平面——梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面(planeincludingprincipalaxes)。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY平面弯曲——所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(planebending)。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY纯弯曲——一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(purebending)。在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY横向弯曲——梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲(transversebending)。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY梁弯曲的若干定义与概念梁的中性层与横截面的中性轴——梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发生伸长变形，也不发生缩短变形，称为梁的中性层或中性面（neutralsurface）。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴(neutralaxis)。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。纯弯曲时，梁横截面上正应力分析平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程纯弯曲时，梁横截面上正应力分析平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度。这一假定称为平面假定(planeassumption)。应用平面假定确定应变分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应用平面假定确定应变分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY在横截面上建立Oyz坐标系，其中z轴与中性轴重合(中性轴的位置尚未确定)，y轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。微段上到中性面的距离为y处长度的改变量，即ddyx＝－式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩变形；y坐标为负的线段产生伸长变形。应用平面假定确定应变分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYddyx＝－将线段的长度改变量除以原长dx，即为线段的正应变，于是得到yxyxx＝－＝－＝dddd这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式，其中xdd1＝应用平面假定确定应变分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYy＝－其中为中性面弯曲后的曲率半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为与y坐标无关，所以在上述二式中，为常数。xdd1＝应用平面假定确定应变分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应用弹性范围内的应力-应变关系的胡克定律y＝－E＝得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式CyyE＝＝－式中C为待定的比例常数，即EC＝其中E为材料的弹性模量，是待定的量。应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYCyyE＝＝－这表明，横截面上的弯曲正应力，沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个问题没有解决：一是y坐标是从中性轴开始计算的，中性轴的位置还没有确定；二是中性面的曲率半径也没有确定。CyyE＝＝－应用胡克定律确定横截面上的正应力分布平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应用静力方程确定待定常数为了确定中性轴的位置以及中性面的曲率半径，现在需要应用静力方程。根据横截面存在正应力这一事实，正应力这一分布力系，在横截面上可以组成一个轴力和一个弯矩。但是，根据截面法和平衡条件，纯弯曲时，横截面上只能有弯矩一个内力分量，二轴力必须等于零。xzyCdAyzσdA平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY于是，应用积分的方法，得到0dN＝＝FAAzAMyA＝d负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值；Mz为作用在加载平面内的弯矩，可由截面法求得。应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzσdA平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYzAMyA＝dCyyE＝＝－zAAMAyCyACy＝＝dd2zzIMC＝－应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzσdAzI平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYCyyE＝＝－zzIMC＝－zzMyI=-式中弯矩Mz由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩Iz既与截面的形状有关，又与截面的尺寸有关。应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzσdA平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY应用静力方程确定中性轴位置为了利用上述应力公式计算梁弯曲时横截面上的正应力，还需要确定中性轴的位置。zzMyI=-将正应力表达式代入静力方程0dN＝＝FAAdd0AACyACyA＝＝Cy平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYzzMyI根据截面的静矩定义，式中的积分即为横截面面积对于z轴的静矩Sz。又因为C0，静矩必须等于零：dd0AACyACyA＝＝0AzydAS＝＝前面讨论静矩与截面形心之间的关系时，已经知道：截面对于某一轴的静矩如果等于零，这一轴一定通过截面的形心。在分析正应力、设置坐标系时，指定z轴与中性轴重合。应用静力方程确定中性轴位置Sz平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYzzMyI=-0ddAAAyCACy＝＝－－0dAzAyS＝＝上述结果表明，中性轴z通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确定中性轴的位置就是确定截面的形心位置。对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。例如，矩形截面，圆截面，圆环截面等，这些截面的形心很容易确定。对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心，也可以从有关的设计手册中查到。应用静力方程确定中性轴位置平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITY最大正应力公式与弯曲截面模量工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到zzMyImaxmaxzzzzMyMIW称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3。maxzzIWy＝平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYyzbh3212622zzbhIbhWhh＝3212622yyhbIhbWbb＝43643222yzdId＝zyd最大正应力公式与弯曲截面模量平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算TSINGHUAUNIVERSITYzzzzWMIyMmaxmaxmaxzz